江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期数学教学质量调研试卷（一）

试卷更新日期：2022-10-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $A = {x ∣ y = \sqrt{9 - x^{2}}} ， B = {x ∣ 3 x - a > 0}$ ，且 $A ∪ B = (- 4 ， + \infty)$ ，则 $a =$ （）

A、-3 B、-4 C、-6 D、-12

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2. 欧拉公式 $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ$ （其中 $e = 2.718 \cdot \cdot \cdot$ ， $i$ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（）

A、 $e^{i π}$ 的实部为0 B、 $e^{2 i}$ 在复平面内对应的点在第一象限 C、 $| e^{i θ} | = 1$ D、 $e^{i π}$ 的共轭复数为 $1$

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{3} ， 3 S_{5} ， 4 S_{6}$ 成等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q =$ （）

A、1或 $- \frac{1}{2}$ B、-1或 $\frac{1}{2}$ C、-1或2 D、1或-2

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4. 若函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得极值，则称 $x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的一个极值点.已知函数 $y = s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $2 π$ ，且在 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有两个零点和两个极值点，则 $φ$ 的值可能是（）

A、π B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $- \frac{π}{2}$

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5. 某同学为班级设计一个班徽，他选择从正八边形中选取素材，如图所示.若正八边形的边长为 $\sqrt{2}$ 厘米，则班徽的面积（图中阴影部分）为（）平方厘米.

A、 $4 + 3 \sqrt{2}$ B、 $4 + 4 \sqrt{2}$ C、7 D、10

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6. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0) ， A (- 3 ， 0) ， B (6 ， 0)$ ，若对于圆 $O$ 上的任意一点 $P$ ，都有 $| 2 \vec{P A} + \vec{P B} | = 3$ ，则正数r的取值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 16 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $x - m y - 4 = 0 (m \in R)$ 与抛物线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，则 $| A F | + 4 | B F |$ 的最小值是（）

A、40 B、36 C、28 D、24

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8. 设 $a = \frac{1}{3} ， b = \frac{4}{3} l n \frac{4}{3} ， c = 2 l n (s i n \frac{1}{6} + c o s \frac{1}{6})$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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二、多选题

9. 函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 过点 $(3 ， 0)$ 的切线方程是（）

A、 $9 x - y - 27 = 0$ B、 $18 x - y - 54 = 0$ C、 $6 x - y - 18 = 0$ D、 $y = 0$

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10. 已知数列 ${\frac{a_{n} - a_{n + 1}}{a_{n + 1} a_{n}}}$ 是公差为1的等差数列，且 $a_{1} = 1 ， a_{2} = \frac{1}{2}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $a_{4} = \frac{1}{7}$ B、存在等差数列 ${b_{n}}$ ，使得其前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ C、存在等差数列 ${c_{n}}$ ，使得其前 $n$ 项和 $T_{n} = \frac{1}{a_{n}} - 1$ D、对任意的 $n \in N^{*} ， 0 < a_{n} \leq 1$

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11. 已知圆 $F ： x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ ，抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ ，过圆心 $F$ 的直线与两曲线的四个交点自左向右依次记为 $P ， M ， N ， Q$ ，若 $| P M | ， | M N | ， | N Q |$ 构成等差数列，则直线的方程可能是（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $x + y - 1 = 0$ C、 $x - \sqrt{2} y + \sqrt{2} = 0$ D、 $x + \sqrt{2} y - \sqrt{2} = 0$

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12. 已知 $s i n 1 0^{∘} = a$ ，则 $\frac{3}{s i n^{2} 4 0^{∘}} - \frac{1}{c o s^{2} 4 0^{∘}}$ 的值用 $a$ 可以表示为（）

A、 $\frac{8 a + 4}{1 - a^{2}}$ B、 $\frac{4 a + 2}{1 - a^{2}}$ C、 $16 a$ D、 $32 a$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a} ， \vec{b} = 6 0^{∘}$ ，若 $\vec{c} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，则 $c o s ⟨ \vec{a} ， \vec{c} ⟩ =$ .

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14. 如图，在复平面内，复数 $z_{1} ， z_{2}$ 对应的向量分别是 $\vec{O Z_{1}} ， \vec{O Z_{2}}$ ，若 $z z_{2} = z_{1}^{2}$ ，则复数 $z =$ .

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15. 已知双曲线 $C ： x^{2} - 2 y^{2} = 1$ 的左､右顶点分别为 $A ， B$ ，点 $P (x ， y)$ 是曲线 $C$ 在第一象限内图像上一点，则 $\frac{y}{x - 1} + \frac{y}{x + 1}$ 的取值范围为.

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16. 对任意的 $x \in [1 ， + ∞)$ ，不等式 $a e^{a x} \geq l n x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $\frac{a}{c o s A} = \frac{b + c}{c o s B + c o s C}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $D$ 为线段 $B C$ 延长线上一点，且 $B A ⊥ A D ， B D = 3 C D$ ，求 $s i n ∠ A C D$ .

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18. 在条件：① $S_{n} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}$ ；② $a_{1} = 1$ 且 $3 S_{n} = (n + 2) a_{n}$ ；③ $S_{1} = 1$ 且 $n S_{n + 1} = (n + 3) S_{n}$ 中任选一个，补充在横线上，并求解下面问题：已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ____，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$

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19. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0) ， O$ 为坐标原点，离心率 $e = 2$ ，点 $M (\sqrt{2} ， \sqrt{3})$ 在双曲线 $C$ 上

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、如图，若斜率为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ 的直线 $l$ 过双曲线的左焦点，分别交双曲线于 $P ， Q$ 两点，求 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 的值，并求出 $△ P O Q$ 外接圆的方程

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20. 如图，长方形 $A B C D$ 纸片的长 $A B$ 为 $3 + \sqrt{7}$ ，将矩形 $A B C D$ 沿折痕 $E F ， G H$ 翻折，使得 $A ， B$ 两点均落于 $D C$ 边上的点 $P$ ，若 $E G = \sqrt{7} ， ∠ E P G = θ$ .

(1)、当 $s i n 2 θ = - s i n θ$ 时，求长方形宽 $A D$ 的长度；

(2)、当 $θ \in (0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求长方形宽 $A D$ 的最大值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左，右顶点分别为 $A ， B$ ，右焦点为 $F$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上一动点（异于 $A ， B$ ）点 $P$ 关于原点的对称点为 $Q$ ，连接 $A P ， Q F$ 并延长交于点 $M$ 连接 $P F$ 并延长交椭圆 $C$ 于点 $N$ ，记 $△ A F M ， △ A F N$ 面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$

(1)、当 $P$ 点坐标为 $(- 1 ， \frac{3}{2})$ 时，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值；

(2)、是否存在点 $P$ ，使得 $S_{1} = 6 S_{2}$ 若存在，求出 $P$ 点坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 a s i n x - e^{π - x} + 1 ， f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (π) = 0$

(1)、判断 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的单调性，并说明理由；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $[(2 k + 1) π ， (2 k + 2) π] (k \in N^{*})$ 内的零点个数，并说明理由.

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