湖南省岳阳地区2023届高三上学期数学适应性考试试卷

试卷更新日期：2022-10-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0} ， B = {x ∣ x \geq a}$ ，且 $A$ $B$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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2. 已知复数 $1 + i$ （ $i$ 为虚数单位）为实系数方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一根，则 $p + q =$ （）

A、4 B、2 C、0 D、-2

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3. 中国青年志愿者协会成立于1994年12月5日，此后广大志愿者､志愿服务组织不断蓬勃发展，目前高校青年志愿者组织就有132个.为了解某大学学生参加志愿者工作的情况，随机抽取某高校志愿者协会的40名成员，就他们2022年第2季度参加志愿服务的次数进行了统计，数据如表所示.则这40名学生本季度参加志愿活动的第40百分数位为（）
次数
7
8
9
10
11
人数
6
10
9
8
7

A、9 B、8 C、8.5 D、9.5

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4. 在平面直角坐标系中，“点 $P (m ， n)$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 内”是“ $| \frac{m}{2} | + | n | < 1$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 青铜器是指以青铜为基本原料加工而成的器皿､用器等，青铜是红铜与其它化学元素（锡､锦､铅､磷等）的合金.其铜锈呈青绿色，故名青铜.青铜器以其独特的器形，精美的纹饰，典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平.图中所示为觚，饮酒器，长身，侈口，口底均成喇叭状，外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面.已知，该曲面高15寸，上口直径为10寸，下口直径为7.5寸.最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{13}{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{4}$

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6. 已知正数 $a ， b ， c$ ，满足 $a l n b = b \cdot e^{c} = c \cdot a$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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7. 已知面积为6的直角 $△ A B C$ 中， $P ， Q$ 为斜边 $B C$ 上的两个三等分点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、8 D、 $\frac{8}{3}$

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8. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2 ， B C = \sqrt{3} A C$ ，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（）

A、 $\frac{28 \sqrt{21}}{27} π$ B、 $\frac{32}{3} π$ C、 $\frac{20 \sqrt{5}}{3} π$ D、 $\frac{28 \sqrt{7}}{9} π$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} | c o s x |$ ，则下列论述正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 ${x \in R | x \neq \frac{k π}{2} ， k \in Z}$ B、 $f (x)$ 为偶函数. C、 $f (x)$ 是周期函数，且最小正周期为 $2 π$ D、 $f (x) \geq - \frac{1}{2}$ 的解集为 ${x | k π - \frac{π}{4} \leq x \leq k π + \frac{π}{4} ， k \in Z}$

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10. 在平面直角坐标系中， $A ， B$ 是圆 $C ： (x - 2)^{2} + y^{2} = 2$ 上的两个动点， $P$ 点坐标为 $(0 ， 2)$ ，则下列判断正确的有（）

A、 $△ A B C$ 面积的最大值为1 B、 $∠ A P B$ 的取值范围为 $[0 ， \frac{π}{3}]$ C、若 $A B$ 为直径，则 $| \overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} | = 2 \sqrt{2}$ D、若直线过点 $P$ .则点 $A$ 到直线距离的最大值为 $3 \sqrt{2}$

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11. 设函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{2}{3} π) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有4个零点，则（）

A、 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{19}{6} ， \frac{25}{6})$ B、 $y = f (x)$ 的图像与直线 $y = 1$ 在 $(0 ， π)$ 上的交点恰有2个 C、 $y = f (x)$ 的图像与直线 $y = - 1$ 在 $(0 ， π)$ 上的交点恰有1个 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增

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12. 在直四棱柱中 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ B A D = 6 0^{∘} ， A B = A D = A A_{1} = 2 ， P$ 为 $C C_{1}$ 中点，点 $Q$ 满足 $\vec{D Q} = λ \vec{D C} + μ \vec{D D_{1}} ， (λ \in [0 ， 1] ， μ \in [0 ， 1])$ .下列结论正确的是（）

A、若 $λ + μ = 1$ ，则四面体 $A_{1} B P Q$ 的体积为定值. B、若 $A Q$ $∥$ 平面 $A_{1} B P$ ，则 $A Q$ 的最小值为 $\sqrt{5}$ . C、若 $△ A_{1} B Q$ 的外心为 $M$ ，则 $\vec{A_{1} B} \cdot \vec{A_{1} M}$ 为定值2. D、若 $A_{1} Q = \sqrt{7}$ ，则点 $Q$ 的轨迹长度为 $\frac{2}{3} π$ .

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三、填空题

13. 已知 $(x - \frac{a}{x}) (1 - x)^{4}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为8，则实数 $a =$ .

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14. 已知拋物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过焦点 $F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $A ， B$ 两点，过 $A$ 作准线的垂线，垂足为 $H$ ，若 $∠ H F B$ 被 $x$ 轴平分，则直线 $A B$ 的斜率为.

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15. 将正整数 $N$ 分解为两个正整数 $k_{1} ， k_{2}$ 的积，即 $N = k_{1} \cdot k_{2}$ ，当 $k_{1} ， k_{2}$ 两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如 $6 = 1 \times 6 = 2 \times 3 ， 2 \times 3$ 即为6的最优分解，当 $k_{1} ， k_{2}$ 是 $N$ 的最优分解时，定义 $φ (n) = | k_{1} - k_{2} |$ ，则数列 ${φ (5^{n})}$ 的前100项和为.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ， $g (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，若存在 $x_{1} > 0$ ， $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) < 0$ 成立，则 $x_{1} x_{2}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\frac{b \cdot s i n B}{s i n A} - \frac{c \cdot s i n C}{s i n A} = b - a$

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $a = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积 $S$ 的取值范围.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{2020}{2023} \cdot S_{2023} = S_{2020} + 3030$ ，又 $a_{4}$ 为 $a_{2}$ 与 $a_{8}$ 的等比中项.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{a_{n}}$ ，求的 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、若 $c_{n} = \sqrt[n]{a_{n}}$ ，判断数列 ${c_{n}}$ 是否存在最大项和最小项，若存在，求 ${c_{n}}$ 的最大和最小项，不存在，请说明理由.

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19. 伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善.据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一，某市一健身连锁机构对去年的参与了该连锁机构健身的会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图
若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有 $\frac{5}{6}$ 是“年轻人”.

(1)、现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100人的样本，根据上图的数据，补全下方 $2 × 2$ 列联表，并判断依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为是否为“健身达人”与年龄有关；
类别
年轻人
非年轻人
合计
健身达人
健身爱好者
合计
100
临界值表：
$ρ (K^{2} < k_{0})$
0.40
0.25
0.05
0.005
$k_{0}$
0.708
0.323
3.841
7.879
$\begin{matrix} K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} \end{matrix}$

(2)、将（1）中的频率作为概率，连锁机构随机选取会员进行回访，抽取3人回访.
①若选到的3人中2人为“年轻人”，1人为“非年轻人”，再从这3人中随机选取的1人，了解到该会员是“健身达人”，求该人为非年轻人的概率；
②设3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和期望值.

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20. 如图，圆柱的轴截面 $A B C D$ 为正方形，点 $E$ 在底面圆周上，且 $B E = C E ， M$ 为 $A E$ 上的一点，且 $B M ⊥ A C ， N$ 为线段 $A C$ 上一动点（不与 $A ， C$ 重合）

(1)、若 $A N = 2 N C$ ，设平面 $B M N \cap$ 面 $B E C = l$ ，求证： $M N / / l$ ；

(2)、当平面 $B M N$ 与平面 $D E C$ 夹角为 $\frac{π}{3}$ ，试确定 $N$ 点的位置.

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ， (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2} ， x = t$ 为垂直于 $x$ 轴的动直线.

(1)、当 $t \in (- a ， a)$ 时，设直线 $x = t$ 交椭圆于 $C ， D$ 两点，直线 $C A_{1} ， A_{2} D$ 的斜率之积为 $\frac{1}{2}$ ，且 $△ C D F_{1}$ 的周长最大值为 $4 \sqrt{2}$ ，求椭圆方程；

(2)、在第（1）问条件下，将直线 $x = t$ 移动至 $x = - a^{2}$ 处， $T$ 为 $x = - a^{2}$ 上一点，以 $T$ 为圆心， $F_{1} T$ 为半径的圆交 $x = - a^{2}$ 于 $M ， N$ 两点，直线 $M A_{1} ， N A_{1}$ 分别交椭圆 $E$ 于点 $P ， Q$ ，试探究直线 $P Q$ 是否经过定点，若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.

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22. 已知 $f (x) = e^{x}$ （ $e$ 为自然对数的底数）， $g (x) = l n x + a$

(1)、当 $a = 2$ 时，若直线 $l$ 是 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的公切线，求 $l$ 的方程；

(2)、若对于任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x - a) \geq g (x)$ ，求实数 $a$ 的取数范围.

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类别	年轻人	非年轻人	合计
健身达人
健身爱好者
合计			100

$ρ (K^{2} < k_{0})$	0.40	0.25	0.05	0.005
$k_{0}$	0.708	0.323	3.841	7.879

次数	7	8	9	10	11
人数	6	10	9	8	7