湖北省百校2022-2023学年高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2022-10-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 2 x < 6} ， ∁_{R} B = {x ∣ x > 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x ∣ - 3 < x < 4}$ C、 ${x ∣ x < - 3}$ D、 ${x ∣ - 3 < x \leq 4}$

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2. 曲线 $y = \frac{1}{x + 1} + s i n (π - 2 x)$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线斜率为（）

A、-1 B、1 C、0 D、-3

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3. 设命题 $p ： \exists x \in (0 ， 4) ， 2^{x} + \sqrt{x} = 18$ ，命题 $q$ ：每个三角形都有内切圆，则（）

A、 $p$ 的否定： $\forall x \in (0 ， 4) ， 2^{x} + \sqrt{x} = 18$ B、 $p$ 是真命题 C、 $q$ 的否定：存在一个三角形没有内切圆 D、 $q$ 是假命题

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4. 设一个等差数列的前4项和为3，前8项和为11，则这个等差数列的公差为（）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{2}$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边上的中点， $E$ 为直线 $A D$ 上一点，则“ $\vec{A E} = \vec{E D}$ ”是“ $| \vec{A E} | = \frac{1}{4} | \vec{A B} + \vec{A C} |$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $y = f (x)$ 的部分图象如图所示，则函数 $y = 2 f (\frac{1}{2} x)$ 在 $[- π ， π]$ 上的大致图像为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为 $2 0^{∘} C$ ，但当气温上升到 $3 1^{∘} C$ 时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时 $\sim 14$ 时的气温 $T$ （单位： $^{∘} C$ ）与时间 $t$ （单位：小时）近似满足函数关系式 $T = 25 + 10 s i n (\frac{π}{8} t + \frac{3 π}{4})$ ，则在6时 $\sim 14$ 时中，观花的最佳时段约为（）（参考数据： $s i n \frac{π}{5} \approx 0.6$ ）

A、6.7时 $\sim 11.6$ 时 B、6.7时 $\sim 12.2$ 时 C、8.7时 $\sim 11.6$ 时 D、8.7时 $\sim 12.2$ 时

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8. 设 $a = \frac{5}{4} l n \frac{5}{4} ， b = \frac{1}{5} e^{\frac{1}{5}} ， c = \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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二、多选题

9. 设 $f (x - \frac{1}{2}) = x^{2} - 1$ ，且函数 $f (x - \frac{1}{2})$ 的定义域为 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ ，则（）

A、 $f (1) + f (2) = \frac{13}{2}$ B、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ C、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， + \infty)$ D、函数 $f (x)$ 在定义域内为增函数

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10. 若 $t a n (2 α + \frac{π}{7}) = \frac{c o s α - s i n α}{s i n α + c o s α}$ ，则 $α$ 的值可能为（）

A、 $\frac{π}{28}$ B、 $\frac{3 π}{28}$ C、 $- \frac{25 π}{84}$ D、 $\frac{31 π}{84}$

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11. 若由函数 $f (x)$ 构造的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = f (n) ， \forall n \in N^{*} ， 0 < a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} < 1$ ，则称 $f (x)$ 为单位收敛函数.下列四个函数中，为单位收敛函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{2}{5 x}$ B、 $f (x) = \frac{2}{(x + 2)^{2}}$ C、 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} + {(\frac{1}{4})}^{x}$ D、 $f (x) = l g (1 + \frac{1}{x})$

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12. 已知函数 $f (x) = {(3 x^{2} - 1)}^{2} - 8 x^{3} - a$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的极大值为 $1 - a$ B、 $f (x)$ 的最小值为 $- 5 - a$ C、当 $f (x)$ 的零点个数最多时， $a$ 的取值范围为 $(\frac{20}{27} ， 1)$ D、不等式 $f (x) \leq - a$ 的解的最大值与最小值之差小于 $1.2$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 14) ， \vec{b} = (n ， - 1) ， \vec{c} = (2 ， 4) ， \vec{a} ∥ \vec{b}$ 且 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $m =$ .

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14. 写出一个同时满足下列三个性质的函数： $f (x) =$ .
① $f (x)$ 为奇函数；② $f (x + 1)$ 为偶函数；③ $f (x)$ 在 $R$ 上的最大值为2.

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15. 如图，现要铸造一个四面体的零件，已知平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D ， △ A B C$ 为正三角形， $B C ⊥ C D$ ，且 $A B + C D = 3 d m$ ，则该零件（四面体 $A B C D$ ）体积的最大值为 $d m^{3}$ .

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16. 已知正数 $x ， y$ 满足 $3 x + \frac{4}{y} = 4$ ，则 $y (\frac{1}{x y + 3} + \frac{1}{2 x y + 1})$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 在等比数列 ${a_{n} - n}$ 中， $a_{1} = 7 ， a_{2} = 14$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${2 a_{n} + (- 1)^{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) + 3 (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的最小值为1，最小正周期为 $π$ ，且 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将曲线 $y = f (x)$ 向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线 $y = g (x)$ ，求曲线 $y = g (x)$ 的对称中心的坐标.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{4} + 7 x^{3}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

(2)、当 $a = 1$ 时，试问曲线 $y = f (x)$ 是否存在过坐标原点且斜率不为0的切线？若存在，求切点的横坐标；若不存在，请说明理由.

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20. 记△ $A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $s i n 2 B - c o s A = c o s (A + 2 B)$ .

(1)、若 $A = \frac{π}{6}$ ，求 $C$ ；

(2)、若 $b^{2} \neq a^{2} + c^{2}$ ，求 $\frac{a^{2} + 2 b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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21. 若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in D ， x_{1} \neq x_{2} ， \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ，则称 $f (x)$ 在区间 $D$ 上的图象是凹的；若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in D ， x_{1} \neq x_{2} ， \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} < f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ，则称 $f (x)$ 在区间 $D$ 上的图象是凸的.

(1)、判断函数 $f (x) = x^{2} - l n x$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上的图象是凹的还是凸的，根据凹凸性的定义证明你的结论；

(2)、判断函数 $g (x) = x^{3} - \frac{3}{x} + 1$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上的图象是凹的还是凸的，根据凹凸性的定义证明你的结论.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{- x} + x - 2$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 3]$ 上的值域；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2} < 0$ ，证明： $0 < a < 2$ 且 $x_{1} + x_{2} > 2 l n a$ .

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