安徽省江淮名校2023届高三上学期数学9月质量检测试卷

试卷更新日期：2022-10-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ y = l o g_{\sqrt{5 - x}} x}$ ， $B = {x | | x - 2 ∣ \leq 3}$ ，则 $A ∩ B$ ＝（）

A、 $(4 ， 5)$ B、 $(- 1 ， 4) ∪ (4 ， 5)$ C、 $[- 1 ， 5)$ D、 $(0 ， 4) ∪ (4 ， 5)$

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2. 已知函数 $f (x) = - l n x + x^{2} + x$ ， $f^{'} (x_{0}) = 2$ ，则 $x_{0}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知函数 $f (x) = \frac{10 c o s x}{x}$ ，则其图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设角 $θ$ 是第一象限角，且满足 $| c o s \frac{θ}{2} | = - c o s \frac{θ}{2}$ ，则 $\frac{θ}{2}$ 的终边所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 已知直线y＝x＋b与圆 $C ： (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ ，则“ $b = 3$ ”是“圆C上的任意一点到该直线的最大距离为 $\sqrt{2} + 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = a (x + 1)^{2023} + b c o s (\frac{2023}{2} π - x - 1) + c$ ，其中a，b，c为常数，若 $f (2022) + f (- 2024) = c^{2} + 1$ ，则c＝（）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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7. 国内首个百万千瓦级海上风电场－三峡阳江沙扒海上风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力．风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型： $F (x) = 1 - {e^{^{^{-}}}}^{(\frac{x}{2})}^{^{^{^{^{k}}}}}$ ，其中k为形状参数，x为风速．已知风速为1m/s时，F≈0.221，则风速为4m/s时， $F \approx$ （参考数据： $l n 0.779 \approx - \frac{1}{4}$ ， $e^{- 4} \approx 0.018$ ）（）

A、0.920 B、0.964 C、0.975 D、0.982

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8. 已知正数 $a ， b$ 满足 $(a - 1) (b - 2) = 4$ ，则 $a + 4 b$ 的最小值为（）

A、16 B、17 C、18 D、19

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9. 如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ C A B = 90 °$ ，动点P，Q分别是AB，AC边上的点（不含端点），现在将 $△ A P Q$ 沿着PQ折起得到四棱锥 $A - P Q C B$ ，则四棱锥 $A - P Q C B$ 的体积的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{6}}{27}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{18}$

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10. 已知 $a = e - l g 2 - l g 5$ ， $b = e^{\frac{5}{4}} - \frac{5}{4}$ ， $c = 3 - \frac{1}{2} l n 9$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > a > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > a > c$

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11. 已知 $f (x) = c o s (ω x + φ)$ （其中 $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，下列四个结论：

（1）函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[2 k π - \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{π}{6}]$ ， $k \in Z$ （2）函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2 π}{3}]$ ， $k \in Z$ （3）函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ （4）函数 $f (x)$ 在区间 $[- π ， π]$ 上有5个零点．其中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} c o s \frac{π}{2} x ， x < 0 ， \\ 2 f (x + 2) ， x \geq 0 ， \end{array}$ 当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = - 4 x^{2} + 8 x$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m | x |$ 在定义域内至少有10个零点，则正实数m的取值范围是（）

A、 $(0 ， 4 - \sqrt{15})$ B、 $(0 ， \frac{1}{14}]$ C、 $(0 ， 5 - 2 \sqrt{6}]$ D、 $(0 ， 7 - 4 \sqrt{3}]$

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二、填空题

13. 命题：“ $∀ x > 0 ， x^{2} + 1 > l n x$ ”的否定是.

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14. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2 ， 4)$ ，则函数 $g (x) = l o g_{a} \frac{f (x)}{2} - 1$ （其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象所过定点的坐标为．

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15. 双曲函数是由以 $e$ 为底的指数函数 $y = e^{x}$ 和 $y = e^{- x}$ 所产生的．其定义为：双曲正弦 $s h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦 $c h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，双曲正切 $t h (x) = \frac{s h (x)}{c h (x)} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ ．类比三角函数的公式，我们给出如下双曲函数的公式，其中正确公式的序号为．
① $s h^{2} (x) + c h^{2} (x) = 1$
② $s h (x - y) = s h (x) \cdot c h (y) - c h (x) \cdot s h (y)$
③ $c h (x + y) = c h (x) \cdot c h (y) - s h (x) \cdot s h (y)$
④ $s h (2 x) = 2 c h (x) \cdot s h (x)$

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16. 已知函数 $f (x) = a \sqrt{x - 1} + b - l n x - 1$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 0$ 在 $[e ， e^{2}]$ 上有解，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知 $t a n θ = \frac{3}{2}$ .

(1)、求 $\frac{s i n θ (s i n θ + c o s θ)}{c o s^{2} θ - 1}$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 s i n^{3} (π + θ) t a n (3 π - θ) s i n (- θ)}{c o s (\frac{π}{2} + θ) c o s (\frac{3 π}{2} - θ)}$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 a b e^{x} - \frac{x}{e}$ ．

(1)、当 $a = e$ ， $b = f^{'} (- 1)$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a > 0$ ， $b = 1$ 时，若函数 $f (x)$ 只有一个零点，求a的值．

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} x (a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）．

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象与函数 $h (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，且点 $P (2 ， 16)$ 在函数 $h (x)$ 的图象上，求实数 $a$ 的值；

(2)、已知函数 $g (x) = f (\frac{x}{2}) f (\frac{x}{8})$ ， $x \in [\frac{1}{2} ， 8]$ ．若 $g (x)$ 的最大值为8，求实数 $a$ 的值．

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20. 已知 $x_{0} ， x_{0} + \frac{π}{2}$ 是函数 $f (x) = c o s^{2} (ω x - \frac{π}{6}) - s i n^{2} (ω x) + \frac{5}{4} (ω > 0)$ 的两个相邻的对称中心的点的横坐标.

(1)、求 $f (x)$ 图象的对称轴方程；

(2)、若对任意 $x \in [- \frac{5 π}{12} ， 0]$ ，都有 $f (x) ⩽ m^{2} - m$ ，求 $m$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $2 \sqrt{3} [f (x) - \frac{5}{4} - \frac{\sqrt{3}}{3}] - m = 0$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上有两个不同的根，求 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{a - 1}{a^{x} + 1} (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）为定义在R上的奇函数

(1)、利用单调性的定义证明：函数 $f (x)$ 在R上单调递增；

(2)、若关于x的不等式 $f (m x^{2} - 1) + f (2 - m x) > 0$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = k f (x) - 3^{x}$ 有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = (x - a - 1) e^{x - 1} - x + a l n x$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、令 $λ (x) = f (x) - (x - a - 1) e^{x - 1} + e^{x} - 2 a l n x - a$ ，若 $λ (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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