人教版七上数学第十五章15.2.2分式的加减课时易错题三刷（第二刷）

试卷更新日期：2022-10-13 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知x为整数，且 $\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3} + \frac{x + 9}{x^{2} - 9}$ 为整数，则符合条件的x有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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2. 若 $x + \frac{1}{x} = 3$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值是（　　）

A、7 B、11 C、9 D、1

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3. 对于下列说法，错误的个数是（　　）
① $\frac{2 x - y}{π}$ 是分式；②当x≠1时， $\frac{x^{2} - 1}{x - 1} = x + 1$ 成立；③当x=﹣3时，分式 $\frac{x + 3}{| x | - 3}$ 的值是零；④a $\div b \times \frac{1}{b} = a \div 1 = a$ ；⑤ $\frac{a}{x} + \frac{a}{y} = \frac{2 a}{x + y}$ ；⑥2﹣x $\cdot \frac{3}{2 - x} = 3$ ．

A、6个 B、5个 C、4个 D、3个

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4. 若ab＝1，m＝ $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ ，则m²⁰²¹的值为（　　）

A、1 B、﹣1 C、2 D、﹣2

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5. $a$ 、 $b$ 为实数，且 $a b = 1$ ，设 $P = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1}$ ， $Q = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ ，则 $P$ 和 $Q$ 的大小关系是（）

A、 $P > Q$ B、 $P < Q$ C、 $P = Q$ D、不能确定

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6. 已知a，b均为正数，设 $M = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1} ， N = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ ．下列结论：①当 $a b = 1$ 时， $M = N$ ；②当 $a b > 1$ 时， $M > N$ ；③当 $a b < 1$ 时， $M < N$ ，正确的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题

7. 若x²-x-1=0，则 $\frac{3 x^{2} - 2}{x} - x =$ .

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8. 若 $a b \neq 0$ ，且 $a + b = 5 a b$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值为．

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三、计算题

9. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 1} \div \frac{a - 1}{a + 1} \times \frac{1 + a}{1 - a}$ ，其中 $a = - 2$ .

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10. 先化简，再求值： $(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1} - 1) \div \frac{x}{x - 1}$ ，其中 $x = 3^{- 1} \times 6$ ．

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四、解答题

11. 先化简，再求值： $(\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}) \div \frac{x}{x - 1}$ ，然后从 $- 1 \leq x \leq 1$ 中，选择一个合适的整数作为x的值代入求值.

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12. 已知 $x = 2 - \sqrt{2}$ ，求代数式 $(2 + \frac{10}{x - 3}) \div \frac{x^{2} - 4}{x - 3}$ 的值．

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13. 先化简 $(1 - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1}$ ，再从 $- 1$ ， 0，1，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值．

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14. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - 4 a + 4}{a + 1} \div (\frac{3}{a + 1} - a + 1)$ ，其中a＝8．

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15. 先化简，再求值： $\frac{b^{2}}{a^{2} - a b} \div (\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - 2 a b + b^{2}} + \frac{a}{b - a})$ ，其中 $a = {(2022 - π)}^{0}$ ， $b = \frac{1}{3}$ .

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五、综合题

16. 解答下列各题：

(1)、计算： $\frac{1}{a - 1} + \frac{2}{1 - a^{2}}$ ；

(2)、先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x + 1} \div (\frac{3}{x + 1} - x + 1)$ ，请从不等式组 ${\begin{array}{l} 5 - 2 x \geq 1 \\ x + 2 \geq 0 \end{array}$ 的整数解中选择一个合适的值代入求值．

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17.

(1)、化简并求值∶已知x=-3，y=2，求（ $x + \frac{x y}{x - y}$ ）÷ $\frac{x^{3}}{x^{2} - y^{2}} - \frac{1}{x}$ 的值．

(2)、已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与 2a-9．
①求a的值及这个正数；

②求关于x的方程 ax³-（-8）²=0 的解．

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18. 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如： $\frac{x^{2} - 2 x + 3}{x - 1} = \frac{x (x - 1) + x - 2 x + 3}{x - 1} = x +$ $\frac{- (x - 1) + 2}{x - 1} = x - 1 + \frac{2}{x - 1}$ ，这样，分式就拆分成一个分式 $\frac{2}{x - 1}$ 与一个整式 $x - 1$ 的和的形式.

根据以上阅读材料，解答下列问题：

(1)、若x为整数， $\frac{x + 6}{x + 4}$ 为负整数，可求得 x最大值= ；

(2)、利用分离常数法，求分式 $\frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ 的取值范围；

(3)、若分式 $\frac{5 x^{2} + 9 x - 3}{x + 2}$ 拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为： $5 m - 11 + \frac{1}{n - 6}$ （整式部分对应等于 $5 m - 11$ ，真分式部分对应等于 $\frac{1}{n - 6}$ ）.
①用含x的式子表示出mn；

②随着x的变化， $m^{2} + n^{2} + m n$ 有无最小值？如有，最小值为多少？

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二、填空题

三、计算题

四、解答题

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