湖南省长沙市长郡教育集团2022-2023学年七年级上学期素养测评数学试卷

试卷更新日期：2022-10-12 类型：开学考试

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一、选择题（本题共7小题，共21分）

1. 已知 $a - b = 5$ ，且 $c - b = 10$ ，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ac$ 等于（）

A、105 B、100 C、75 D、50

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2. 已知多项式 $2 x^{3} - x^{2} + m$ 分解因式后有一个因式是 $x + 1$ ，则 $m$ 的值为（）

A、3 B、-3 C、1 D、-1

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3. 方程组 $\frac{6 xy}{2 x + 5 y} = \frac{- 2 yz}{3 y + 2 z} = \frac{- zx}{5 z + 6 x} = 1$ （）

A、没有解 B、有1组解 C、有3组解 D、以上答案都不对

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4. 已知 $a$ 是方程 $x^{2} - 2020 x + 4 = 0$ 的一个解，则 $a^{2} - 2019 a + \frac{8080}{a^{2} + 4} + 6$ 的值为（）

A、2022 B、2021 C、2020 D、2019

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5. 设实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $x + y + z = 1$ ，则 $M = xy + 2 yz + 3 xz$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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6. 如果关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} m - 5 x \geq 2 \\ x - \frac{11}{2} < 3 (x + \frac{1}{2}) \end{array}$ 有且仅有四个整数解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{2 - my}{2 - y} - \frac{8}{y - 2} = 1$ 有非负数解，则符合条件的所有整数 $m$ 的和是（）

A、13 B、15 C、20 D、22

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7. 记 $S_{n} = \sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}}$ ，则 $\frac{S_{2016}}{2016} =$ （）

A、 $\frac{2016}{2017}$ B、 $\frac{2017}{2016}$ C、 $\frac{2017}{2018}$ D、 $\frac{2018}{2017}$

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二、填空题（本题共12小题，共36分）

8. 若 $\frac{xy}{x + y} = 3$ ，则 $\frac{6 x + 4 xy + 6 y}{9 x + 4 xy + 9 y} =$ ．

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9. 分解因式： $(x + y - 2 xy) (x + y - 2) + {(xy - 1)}^{2} =$ ．

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10. 已知 $x = \frac{5 - \sqrt{17}}{\sqrt{17} - 3}$ ， $y = \frac{\sqrt{17} - 3}{5 - \sqrt{17}}$ ，则 $4 x^{2} - 3 xy + 4 y^{2} =$ ．

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11. x是实数，若 $1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} = 0$ ，则 $x^{6} =$ ．

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12. 已知 $\frac{6 x^{3} + 10 x}{x^{4} + x^{2} + 1} = \frac{Ax + B}{x^{2} + x + 1} + \frac{Cx + D}{x^{2} - x + 1}$ ，其中 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 为常数，则 $A + B + C + D =$ ．

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13. 使代数式 $\frac{x^{2} + 11}{x + 1}$ 的值为整数的全体自然数 $x$ 的和是．

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14. 若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $3 a + 7 b + c = 1$ 和 $4 a + 10 b + c = 2001$ ，则分式 $\frac{a + b + c}{a + 3 b}$ 的值为．

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15. 若 $a + b + c = 0$ ， $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 0$ ，则 $a^{23} + b^{23} + c^{23} =$ ．

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16. 如果关于 $x$ 的方程 $[\frac{x}{2}] + [\frac{2 x}{3}] + [\frac{3 x}{5}] = \frac{k}{7} x$ 有正整数解，那么正整数 $k$ 的所有可能取值之和为．

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17.

(1)、已知实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a + b + c = \sqrt{5}$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 5$ ， $abc = 6$ ，则 $\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} =$ ．

(2)、已知实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a + b + c = 5$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 11$ ， $abc = 4$ ，则 $\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} =$ ．

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18. 已知 $xyz = 1$ ， $x + y + z = 2$ ， $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16.$ 则 $\frac{1}{xy + 2 z} + \frac{1}{yz + 2 x} + \frac{1}{zx + 2 y} =$ ．

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19. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $x$ ， $y$ ， $z$ ， $w$ 是互不相等的非零实数，且 $\frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} y^{2} + b^{2} x^{2}} = \frac{b^{2} c^{2}}{b^{2} z^{2} + c^{2} y^{2}} = \frac{c^{2} d^{2}}{c^{2} w^{2} + d^{2} z^{2}} = \frac{abcd}{xyzw}$ ，则 $\frac{a^{2}}{x^{2}} + \frac{b^{2}}{y^{2}} + \frac{c^{2}}{z^{2}} + \frac{d^{2}}{w^{2}}$ 的值为．

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三、解答题（本题共5小题，共40分）

20. 设 $a + b + c = 6$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 14$ ， $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 36$ ．求

(1)、 $abc$ 的值；

(2)、 $a^{4} + b^{4} + c^{4}$ 的值．

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21. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数 $k$ ，使得关于 $x$ 的二次方程 $x^{2} + (k^{2} + ak) x + 1999 + k^{2} + ak = 0$ 的两个根均为质数 $.$ 求 $a$ 的值．

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22. 对于有理数 $x$ ，用 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，请解方程 $20 + 3 y - 10 [\frac{25 + y^{2}}{25}] = 0$ ．

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23. 已知 $n$ ， $k$ 均为自然数，且满足不等式 $\frac{7}{13} < \frac{n}{n + k} < \frac{6}{11} .$ 若对于某一给定的自然数 $n$ ，只有唯一的自然数 $k$ 使不等式成立，求所有符合要求的自然数 $n$ 中的最大数和最小数．

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24. 设 $a$ ， $b$ 是两个不相等的正整数， $P$ 为质数，满足 $b^{2} + a = p^{2}$ ，且 $\frac{a^{2} + b}{b^{2} + a}$ 是整数．

(1)、求证： $a > b$ ；

(2)、求 $p$ 的值；

(3)、求 $a$ ， $b$ 的值．

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