河南省信阳九中2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷

试卷更新日期：2022-10-12 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30分。）

1. 下列各数中，-2的绝对值是（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、±2

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2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务． $2014 - 2018$ 年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）

A、 $0.1692 \times 10^{12}$ B、 $1.692 \times 10^{12}$ C、 $1.692 \times 10^{11}$ D、 $16.92 \times 10^{10}$

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3. 已知44²＝1936，45²＝2025，46²＝2116，47²＝2209，若n为整数且n＜ $\sqrt{2170}$ ＜n＋1，则n的值为（）

A、44 B、45 C、46 D、47

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4. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）

A、 $x^{2} + 6 x + 9 = 0$ B、 $x^{2} = x$ C、 $x^{2} + 3 = 2 x$ D、 ${(x - 1)}^{2} + 1 = 0$

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5. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $CD$ 中点，连接 $OE$ ，若 $AB = BD$ ， $OE = 6$ ，则 $AC =$ （）

A、12 B、 $12 \sqrt{3}$ C、6 D、 $6 \sqrt{3}$

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6. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 $ABCDEF$ 的中心与原点 $O$ 重合， $AB / / x$ 轴，交 $y$ 轴于点 $P .$ 将 $△ OAP$ 绕点 $O$ 顺时针旋转，每次旋转 $90 °$ ，则第2022次旋转结束时，点 $A$ 的坐标为（）

A、 $(\sqrt{3} ， - 1)$ B、 $(- 1 ， - \sqrt{3})$ C、 $(- \sqrt{3} ， - 1)$ D、 $(1 ， \sqrt{3})$

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7. 如图1，矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $P$ 沿 $B C$ 从点 $B$ 运动到点 $C$ ，设 $B$ ， $P$ 两点间的距离为 $x$ ， $P A - P E = y$ ，图2是点 $P$ 运动时 $y$ 随 $x$ 变化的关系图象，则 $B C$ 的长为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ， $∠ D = 90 °$ ， $AD = 4$ ， $BC = 3.$ 分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} AC$ 长为半径作弧，两弧交于点 $E$ ，作射线 $BE$ 交 $AD$ 于点 $F$ ，交 $AC$ 于点 $O .$ 若点 $O$ 是 $AC$ 的中点，则 $CD$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、3 D、 $\sqrt{10}$

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9. 如果 $x^{2} - x - 1 = {(x - 2)}^{0}$ ，那么 $x$ 的值为（）

A、2或-1 B、0或2 C、2 D、-1

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10. 如图，已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰三角形， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $B D ， C E$ 交于点F，连接 $A F$ ，下列结论：① $B D = C E$ ；② $B F ⊥ C F$ ；③ $A F$ 平分 $∠ C A D$ ；④ $∠ A F E = 45 °$ .其中正确结论的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 若 $\sqrt{x - 7}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 的取值范围是．

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12. 有甲、乙两组数据，如下表所示：

甲

11

12

13

14

15

乙

12

12

13

14

05

甲、乙两组数据的方差分别为 $S_{甲}^{2}$ ， $S_{乙}^{2}$ ，则 $S_{甲}^{2}$ $S_{乙}^{2} ($ 填“ $>$ ”，“ $<$ ”或“ $=$ ” $)$ ．

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13. 方程 $x (x + 2) = x + 2$ 的解是．

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14. 如图1，点 $P$ 从 $△ ABC$ 的顶点 $B$ 出发，沿 $B \to C \to A$ 匀速运动到点 $A$ ，图2是点 $P$ 运动时，线段 $BP$ 的长度 $y$ 随时间 $x$ 变化的关系图象，其中 $M$ 为曲线部分的最低点，则 $△ ABC$ 的面积是．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，点 $P$ 在 $A C$ 上，且 $C P = 1$ ，将 $C P$ 绕点 $C$ 在平面内旋转，点 $P$ 的对应点为点 $Q$ ，连接 $A Q$ ， $D Q .$ 当 $∠ A D Q = 90 °$ 时， $A Q$ 的长为．

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三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.

(1)、计算 ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} + {(π - \sqrt{3})}^{0} - | \sqrt[3]{27} |$ ；

(2)、化简： $\frac{2 x - 4}{x^{2} - 1} \div (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1})$ ．

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17. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若 $m > 0$ ，且该方程的两个实数根的差为2，求 $m$ 的值．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象由函数 $y = \frac{1}{2} x$ 的图象向下平移1个单位长度得到．

(1)、求这个一次函数的解析式；

(2)、当 $x > - 2$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = m x (m \neq 0)$ 的值大于一次函数 $y = k x + b$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

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19. 2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”.某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：

a.成绩频数分布表：

成绩x（分）	$50 \leq x < 60$	$60 \leq x < 70$	$70 \leq x < 80$	$80 \leq x < 90$	$90 \leq x \leq 100$
频数	7	9	12	16	6

b.成绩在 $70 \leq x < 80$ 这一组的是（单位：分）：

70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、在这次测试中，成绩的中位数是分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为.

(2)、这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分.乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩.”你认为乙的说法正确吗？请说明理由.

(3)、请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价.

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = α ， M$ 为 $B C$ 的中点，点 $D$ 在 $M C$ 上，以点 $A$ 为中心，将线段 $A D$ 顺时针旋转 $α$ 得到线段 $A E$ ，连接 $B E ， D E$ ．

(1)、比较 $∠ B A E$ 与 $∠ C A D$ 的大小；用等式表示线段 $B E ， B M ， M D$ 之间的数量关系，并证明；

(2)、过点 $M$ 作 $A B$ 的垂线，交 $D E$ 于点 $N$ ，用等式表示线段 $N E$ 与 $N D$ 的数量关系，并证明．

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21. 近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的 $\frac{5}{4}$ 倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.

(1)、求菜苗基地每捆A种菜苗的价格.

(2)、菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠.求本次购买最少花费多少钱.

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22. 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)、操作判断

操作一：对折矩形纸片 $ABCD$ ，使 $AD$ 与 $BC$ 重合，得到折痕 $EF$ ，把纸片展平；

操作二：在 $AD$ 上选一点 $P$ ，沿 $BP$ 折叠，使点 $A$ 落在矩形内部点 $M$ 处，把纸片展平，连接 $PM$ ， $BM$ ．

根据以上操作，当点 $M$ 在 $EF$ 上时，写出图1中一个 $30 °$ 的角：．

(2)、迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片 $ABCD$ 按照（1）中的方式操作，并延长 $PM$ 交 $CD$ 于点 $Q$ ，连接 $BQ$ ．

①如图2，当点 $M$ 在 $EF$ 上时， $∠ MBQ =$ _▲_ $°$ ， $∠ CBQ =$ _▲_ $°$ ；

②改变点 $P$ 在 $AD$ 上的位置 $($ 点 $P$ 不与点 $A$ ， $D$ 重合 $)$ ，如图3，判断 $∠ MBQ$ 与 $∠ CBQ$ 的数量关系，并说明理由．

(3)、拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片 $ABCD$ 的边长为 $8 cm$ ，当 $FQ = 1 cm$ 时，直接写出 $AP$ 的长．

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23. 如图，二次函数 $y = {ax}^{2} + c$ 的图象经过点 $A (- 1 ， \frac{5}{4})$ 和点 $C (- 4 ， 5)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(0 ， 5)$ ．

(1)、求二次函数 $y = {ax}^{2} + c$ 的解析式；

(2)、若 $y$ 轴上有一点 $P (0 ， 2)$ ，点 $M$ 是抛物线上一动点，过点 $M$ 作 $ME ⊥ x$ 轴于点 $E$ ．
$①$ 求证：点 $M$ 在线段 $PE$ 的垂直平分线上；

$②$ 若点 $N (- 2 ， 4)$ ，求 $△ MPN$ 的周长的最小值．

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甲	11	12	13	14	15
乙	12	12	13	14	05