广西壮族自治区玉林市福绵区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-10-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 点B与点A（﹣2，3）关于原点对称，点B的坐标为（）

A、（2，﹣3） B、（﹣2，3） C、（2，3） D、（﹣2，﹣3）

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3. 把抛物线 $y = 5 x^{2}$ 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）

A、 $y = 5 (x - 2)^{2} + 3$ B、 $y = 5 (x + 2)^{2} - 3$ C、 $y = 5 (x + 2)^{2} + 3$ D、 $y = 5 (x - 2)^{2} - 3$

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4. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 6 x - 10 = 0$ 时，下列变形正确的为（）

A、 $(x + 3)^{2} = 1$ B、 $(x - 3)^{2} = 1$ C、 $(x - 3)^{2} = 19$ D、 $(x + 3)^{2} = 19$

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5. 关于x的一元二次方程 $a x^{2} - x + 1 = 0$ 有实数根，则a的取值范围（）

A、 $a \leq \frac{1}{4}$ B、 $a \leq \frac{1}{4}$ 且 $a \neq 0$ C、 $a \geq - \frac{1}{4}$ D、 $a \geq - \frac{1}{4}$ 且 $a \neq 0$

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6. 以3和 $- 1$ 为两根的一元二次方程是（）；

A、 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ B、 $x^{2} + 2 x + 3 = 0$ C、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ D、 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$

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7. 设A $(- 2 ， y_{1})$ ，B $(1 ， y_{2})$ ，C $(2 ， y_{3})$ 是抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} + a$ 上的三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ C、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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8. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则 $∠ B$ 的大小为（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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9. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象，由图象可知不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集是（）

A、 $x < 5$ B、 $- 1 < x < 5$ C、 $x < - 1$ 或 $x > 5$ D、 $x < - 3$ 或 $x > 5$

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10. 由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为x，则列方程为（）

A、 $2000 (1 + x) = 2420$ B、 $2000 (1 + 2 x) = 2420$ C、 $2000 {(1 - x)}^{2} = 2420$ D、 $2000 {(1 + x)}^{2} = 2420$

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11. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA₁B₁C₁ ，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA₂₀₂₀B₂₀₂₀C₂₀₂₀ ，如果点A的坐标为（1，0），那么点B₂₀₂₀的坐标为（）

A、（﹣1，1） B、 $(- \sqrt{2} ， 0)$ C、（﹣1，﹣1） D、 $(0 ， - \sqrt{2})$

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象如图所示，下列结论：① $b^{2} - 4 a c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③ $a b c > 0$ ；④ $4 a + 2 b + c > 0$ ；⑤ $a x^{2} + b x + c - 3 = 0$ 有两个相等的实数根，其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 抛物线 $y = - 2 {(x - 3)}^{2} + 4$ 的顶点坐标是；

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14. 一元二次方程x²＋ax－1＝0的一个根为x＝2，则a＝.

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15. 设m ， n分别为一元二次方程x²＋2x－2 021＝0的两个实数根,则m²＋3m＋n＝.

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16. 已知二次函数 $y = a x^{2} + 4 a x + c$ 的图象与x轴的一个交点为 $(- 1 ， 0)$ ，则它与x轴的另一个交点的坐标是．

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17. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x² ，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．

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18.
如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax²上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为．

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三、解答题

19. 解方程： $x^{2} + x - 2 = 0$

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20. 如图， $Δ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1 ， 1)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (3 ， 4)$ ：

(1)、请在图中作出 $Δ A B C$ 关于原点对称的图形 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

(2)、请在图中作出 $Δ A B C$ 绕点 $O$ 顺时针方向旋转 $90 °$ 后得到的图形 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$

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21. 已知二次函数y＝x²﹣6x＋5

(1)、将其配方成顶点式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；

(2)、求出抛物线与x轴的交点坐标.

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22. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m - 3) x - m = 0$ .

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、如果方程的两实根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 7$ ，求m的值.

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23. 如图，点M， $N$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ ， $C D$ 上，且 $∠ M A N = 45 °$ ，把 $△ A D N$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B E$ .

(1)、求证： $△ A E M$ ≌ $△ A N M$ .

(2)、若 $B M = 3$ ， $D N = 2$ ，求正方形 $A B C D$ 的边长.

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24. 某玩具商店以成本为每件60元购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价5元，则每天可多卖10件.

(1)、若商店平均每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？

(2)、若商店为增加效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店平均每天盈利最多？最多盈利多少元？

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25.
如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．

(1)、求证：EB=GD；

(2)、判断EB与GD的位置关系，并说明理由；

(3)、若AB=2，AG= $\sqrt{2}$ ，求EB的长．

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26. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过A（－1，0）、B（5，6）两点，点 $E$ 是线段 $A B$ 上一动点，过点 $E$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $F$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求线段 $E F$ 的最大值；

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在一个动点 $P$ ，使得 $Δ A B P$ 是直角三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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