广西壮族自治区贵港市港南区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-10-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在函数 $y = \frac{6}{x}$ 图像上的点是（）

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(2 ， 4)$ C、 $(6 ， 6)$ D、 $(- 1 ， - 6)$

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2. 若sinα＝ $\frac{1}{2}$ ，则锐角α＝（）

A、30° B、45° C、50° D、60°

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3. 关于x的一元二次方程 $a x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > 1$ B、 $a < 1$ C、 $a \leq 1$ 且 $a \neq 0$ D、 $a \geq 1$ 且 $a \neq 0$

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4. 方程x²﹣2x＝0的根是（）

A、x＝﹣2 B、x₁＝0，x₂＝2 C、x＝2 D、x₁＝0，x₂＝﹣2

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5. 一元二次方程5x²﹣3x＝x+1化为一般形式ax²+bx+c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（）

A、a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1 B、a＝5，b＝4，c＝1 C、a＝4，b＝﹣5，c＝1 D、a＝﹣5，b＝4，c＝﹣1

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6. 若a，b为方程 $x^{2} - 5 x - 1 = 0$ 的两个实数根，则2 $a^{2} + 3 ab + 8 b - 2 a$ 的值为（）

A、-41 B、-35 C、39 D、45

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7. 在△ABC中，已知∠A、∠B均为锐角，且有|tan²B﹣3|＋（2sinA﹣ $\sqrt{3}$ ）²＝0，则△ABC是（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、钝角三角形

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8. 某校为落实“光盘行动”，对每天的剩饭菜进行称重，第一周的剩余量为20kg，第三周为9.8kg，设每周剩余量的平均减少率为x，则可列方程（）

A、20（1﹣x）²＝9.8 B、20（1+x）²＝9.8 C、20（1﹣2x）＝9.8 D、20（1+2x）＝9.8

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9. 如图，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，过点A作 $A B ⊥ x$ 轴于点B，若 $Δ O A B$ 的面积为3，则k的值为（）

A、-6 B、6 C、-3 D、3

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10. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $D E // B C$ ， $A D ： D B = 2 ： 3$ ，若 $Δ A D E$ 的周长为 $2 a$ ，则 $Δ A B C$ 的周长是（）

A、 $3 a$ B、 $9 a$ C、 $5 a$ D、 $25 a$

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11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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12. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP²＝PH•PC．其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，宜选用统计图．（填“扇形”、“条形”或“折线”）

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14. 代数式 $x^{2} - 4 x + 6$ 的最小值为．

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15. 如果2x＝3y，那么 $\frac{x + y}{y} =$ ．

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16. 如图，在△ABC中，DE∥BC，且BD＝2AD，若DE＝2，则BC边的长为．

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17. 如图，已知DC为∠ACB的平分线，DE∥BC.若AD＝8，BD＝10，BC＝15，求EC的长＝.

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18. 图，在反比例函数y＝ $\frac{20}{x}$ （x＞0）的图象上有点P₁ ， P₂ ， P₃ ， P₄ ， P₅ ，它们的横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S₁ ， S₂ ， S₃ ， S₄ ，则阴影部分的面积S₁+S₂+S₃+S₄＝．

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三、解答题

19.

(1)、计算：（ $\frac{1}{2}$ ）^﹣¹﹣2tan45°+4sin60°﹣ $\sqrt{12}$ ；

(2)、解方程：x²﹣2x﹣3＝0．

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20. 已知 $a ： b ： c = 2 ： 3 ： 4$ ，且 $a + 3 b - 2 c = 15$ ，求 $4 a - 3 b + c$ 的值．

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21. 如图，在▱ABCD中，设BC边的长为x（cm），BC边上的高线AE长为y（cm），已知▱ABCD的面积等于24cm² ．

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、求当3＜y＜6时x的取值范围．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\sin C = \frac{3}{5}$ ， $A C = 10$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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23. 某店只销售某种进价为40元/kg的特产. 已知该店按60元/kg 出售时，平均每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10kg.若该店销售这种特产计划平均每天获利2240元.

(1)、每千克该特产应降价多少元？

(2)、为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 上一点， $∠ B A D = ∠ C$ .

(1)、求证： $△ A B D ∽ △ C B A$ .

(2)、若 $A B = 6 ， B D = 3$ ，求 $C D$ 的长.

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25. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图像相交于A（ $- 3 ， 2$ ）、B（ $2 ， n$ ）两点。

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；

(3)、根据图像直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 $x$ 的取值范围

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26. 阅读材料：
对于两个正数a、b，则 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ （当且仅当a＝b时取等号）.

当 $a b$ 为定值时， $a + b$ 有最小值；当 $a + b$ 为定值时， $a b$ 有最大值.

例如：已知 $x > 0$ ，若 $y = x + \frac{1}{x}$ ，求 $y$ 的最小值.

解：由 $a + b$ ≥ $2 \sqrt{a b}$ ，得 $y = x + \frac{1}{x}$ ≥ $2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2 \times \sqrt{1} = 2$ ，当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ 即 $x = 1$ 时， $y$ 有最小值，最小值为 $2$ .

根据上面的阅读材料回答下列问题：

(1)、已知 $x > 0$ ，若 $y = 4 x + \frac{9}{x}$ ，则当 $x =$ 时， $y$ 有最小值，最小值为；

(2)、已知 $x > 3$ ，若 $y = x + \frac{9}{x - 3}$ ，则 $x$ 取何值时， $y$ 有最小值，最小值是多少？

(3)、用长为 $100 m$ 篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？

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