2022年秋季湘教版数学九年级上册第三章《图形的相似》单元检测B

试卷更新日期：2022-10-12 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S_△_ADE：S_△_ABC＝（）

A、1：1 B、1：2 C、1：3 D、1：4

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2. 如图，菱形ABCD中，AB＝2 $\sqrt{3}$ ， ∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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3. 如图， $A B ∥ C D ， A C ， B D$ 相交于点E， $A E = 1 ， E C = 2 ， D E = 3$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、6

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4. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上， $A C$ 与 $B D$ 相交于点E，连接 $A B ， C D$ ，则 $△ A B E$ 与 $△ C D E$ 的周长比为（）

A、1：4 B、4：1 C、1：2 D、2：1

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5. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B < A C$ ，将 $△ A B C$ 以点 $A$ 为中心逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ .下列结论：① $△ A F E ∼ △ D F C$ ；② $D A$ 平分 $∠ B D E$ ；③ $∠ C D F = ∠ B A D$ ，其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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6. 若 $△ A B C \sim △ D E F$ ， $B C = 6$ ， $E F = 4$ ，则 $\frac{A C}{D F} =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7. 将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片 $A B C D$ ，其中 $∠ A = 90 °$ ， $A B = 9$ ， $B C = 7$ ， $C D = 6$ ， $A D = 2$ ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）

A、 $\frac{25}{2}$ B、 $\frac{45}{4}$ C、10 D、 $\frac{35}{4}$

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8. 如图，点E在矩形 $A B C D$ 的 $A B$ 边上，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，点A恰好落在 $B C$ 边上的点F处，若 $C D = 3 B F$ ， $B E = 4$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、9 B、12 C、15 D、18

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9. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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10. 如图，△ABC与△DEF位似点О为位似中心，相似比为2：3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（ )

A、4 B、6 C、9 D、16

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，若 $A B = 3 ， A C = 5 ， \frac{A F}{F C} = \frac{1}{4}$ ，则 $A E$ 的长为．

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12. 如图，折叠边长为4cm的正方形纸片 $A B C D$ ，折痕是 $D M$ ，点 $C$ 落在点 $E$ 处，分别延长 $M E$ 、 $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ 、 $G$ ，若点 $M$ 是 $B C$ 边的中点，则 $F G =$ cm.

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13. 如图是一架梯子的示意图，其中AA₁∥BB₁∥CC₁∥DD₁ ，且AB＝BC＝CD.为使其更稳固，在A，D₁间加绑一条安全绳（线段AD₁）量得AE＝0.4m，则AD₁＝m.

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = 3 ， B C = 5$ ，点P为 $B C$ 边上任意一点，连接 $P A$ ，以 $P A$ ， $P C$ 为邻边作平行四边形 $P A Q C$ ，连接 $P Q$ ，则 $P Q$ 长度的最小值为.

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15. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ D A B = 60 °$ ， E为 $A B$ 的中点，F为 $C E$ 的中点， $A F$ 与 $D E$ 相交于点G，则 $G F$ 的长等于．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 9$ ， $B C = 12$ .在 $R t △ D E F$ 中， $∠ F = 90 °$ ， $D F = 3$ ， $E F = 4$ .用一条始终绷直的弹性染色线连接 $C F$ ， $R t △ D E F$ 从起始位置（点 $D$ 与点 $B$ 重合）平移至终止位置（点 $E$ 与点 $A$ 重合），且斜边 $D E$ 始终在线段 $A B$ 上，则 $R t △ A B C$ 的外部被染色的区域面积是.

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E为 $D C$ 边的中点，连接 $A E$ ，若 $A E$ 的延长线和 $B C$ 的延长线相交于点F.

(1)、求证： $B C = C F$ ；

(2)、连接 $A C$ 和 $B E$ 相交于点为G，若 $△ G E C$ 的面积为2，求平行四边形 $A B C D$ 的面积.

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E、F分别在边 $A D$ 、 $B C$ 上，且 $∠ A B E = ∠ C D F$ .

(1)、探究四边形 $B E D F$ 的形状，并说明理由；

(2)、连接 $A C$ ，分别交 $B E$ 、 $D F$ 于点G、H，连接 $B D$ 交 $A C$ 于点O.若 $\frac{A G}{O G} = \frac{2}{3}$ ， $A E = 4$ ，求 $B C$ 的长.

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19. 如图，用四根木条钉成矩形框 $A B C D$ ，把边 $B C$ 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）.

(1)、通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段 $E B$ 由 $A B$ 旋转得到，所以 $E B = A B$ .我们还可以得到 $F C$ = ， $E F$ = ；

(2)、进一步观察，我们还会发现 $E F$ ∥ $A D$ ，请证明这一结论；

(3)、已知 $B C = 30 c m ， D C = 80 c m$ ，若 $B E$ 恰好经过原矩形 $D C$ 边的中点 $H$ ，求 $E F$ 与 $B C$ 之间的距离.

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20. 已知：点C，D均在直线l的上方， $A C$ 与 $B D$ 都是直线l的垂线段，且 $B D$ 在 $A C$ 的右侧， $B D = 2 A C$ ， $A D$ 与 $B C$ 相交于点O.

(1)、如图1，若连接 $C D$ ，则 $△ B C D$ 的形状为， $\frac{A O}{A D}$ 的值为；

(2)、若将 $B D$ 沿直线l平移，并以 $A D$ 为一边在直线l的上方作等边 $△ A D E$ .
①如图2，当 $A E$ 与 $A C$ 重合时，连接 $O E$ ，若 $A C = \frac{3}{2}$ ，求 $O E$ 的长；
②如图3，当 $∠ A C B = 60 °$ 时，连接 $E C$ 并延长交直线l于点F，连接 $O F$ .求证： $O F ⊥ A B$ .

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21. 综合与实践

(1)、问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；

(2)、问题解决：
如图②，在三角板旋转过程中，当 $∠ B = ∠ M D B$ 时，求线段CN的长；

(3)、如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．

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22. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 是一条对角线，且 $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ， $E$ ， $F$ 是 $A D$ 边上两点，点 $F$ 在点 $E$ 的右侧， $A E = D F$ ，连接 $C E$ ， $C E$ 的延长线与 $B A$ 的延长线相交于点 $G$ ．

(1)、如图1， $M$ 是 $B C$ 边上一点，连接 $A M$ ， $M F$ ， $M F$ 与 $C E$ 相交于点 $N$ ．
①若 $A E = \frac{3}{2}$ ，求 $A G$ 的长；
②在满足①的条件下，若 $E N = N C$ ，求证： $A M ⊥ B C$ ；

(2)、如图2，连接 $G F$ ， $H$ 是 $G F$ 上一点，连接 $E H$ ．若 $∠ E H G = ∠ E F G + ∠ C E F$ ，且 $H F = 2 G H$ ，求 $E F$ 的长．

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23. 已知在 $△$ ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将 $△$ AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 $△$ EOF，连接AE，CF.

(1)、如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是；

(2)、如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)、如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长.

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24. 如图

问题提出：如图（1）， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $D E = D B$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，探究 $\frac{A F}{A B}$ 的值.

(1)、问题探究：
先将问题特殊化.如图（2），当 $∠ B A C = 60 °$ 时，直接写出 $\frac{A F}{A B}$ 的值；

(2)、再探究一般情形.如图（1），证明（1）中的结论仍然成立.

(3)、问题拓展：
如图（3），在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $G$ 是边 $B C$ 上一点， $\frac{C G}{B C} = \frac{1}{n} (n < 2)$ ，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $D E = D G$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ .直接写出 $\frac{A F}{A B}$ 的值（用含 $n$ 的式子表示）.

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一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共8题，共72分）

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