2022年秋季湘教版数学九年级上传第三章《图形的相似》单元检测A

试卷更新日期：2022-10-12 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 已知 $△ A B C ∽ △ D E F$ ， $\frac{A B}{D E} = \frac{1}{2}$ ，若 $B C = 2$ ，则 $E F =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、16

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2. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC， $\frac{A D}{D B} = \frac{2}{3}$ ，DE＝6cm，则BC的长为（）

A、9cm B、12cm C、15cm D、18cm

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3. 如图，以点O为位似中心，作四边形 $A B C D$ 的位似图形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ﹐已知 $\frac{O A}{O A^{'}} = \frac{1}{3}$ ，若四边形 $A B C D$ 的面积是2，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积是（）

A、4 B、6 C、16 D、18

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4. 如图，点D为 $△ A B C$ 边 $A B$ 上任一点， $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点E，连接 $B E 、 C D$ 相交于点F，则下列等式中不成立的是（）

A、 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{D F}{F C}$ C、 $\frac{D E}{B C} = \frac{A E}{E C}$ D、 $\frac{E F}{B F} = \frac{A E}{A C}$

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5. 如图，在平面直角坐标系中， $C$ 为 $△ A O B$ 的 $O A$ 边上一点， $A C ： O C = 1 ： 2$ ，过 $C$ 作 $C D ∥ O B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ， $C$ 、 $D$ 两点纵坐标分别为1、3，则 $B$ 点的纵坐标为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（）

A、5 B、6 C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{17}{3}$

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7. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB.如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（）

A、 $0.3 cm$ B、 $0.5 cm$ C、 $0.7 cm$ D、 $1 cm$

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8. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（）

A、 $A G = C G$ B、 $∠ B = 2 ∠ H A B$ C、 $△ C A H ≅ △ B A G$ D、 $B G^{2} = C G \cdot C B$

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9. 如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 $\frac{S_{△ AMD}}{S_{△ M B N}} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E， $A F ⊥ x$ 轴，垂足为F．若 $O E = 3$ ， $E F = 1$ ．以下结论正确的个数是（）
① $O A = 3 A F$ ；②AE平分 $∠ O A F$ ；③点C的坐标为 $(- 4 ， - \sqrt{2})$ ；④ $B D = 6 \sqrt{3}$ ；⑤矩形ABCD的面积为 $24 \sqrt{2}$ ．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3 $\sqrt{3}$ ，则△ABC的周长为．

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12. 如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 与 $△ O C D$ 位似，位似中心是坐标原点O．若点 $A (4 ， 0)$ ，点 $C (2 ， 0)$ ，则 $△ O A B$ 与 $△ O C D$ 周长的比值是．

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13. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E为 $A D$ 的中点，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点F．若 $A B = 6$ ，则 $△ A E F$ 的面积为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，点F、G在 $B C$ 上，点E、H分别在 $A B$ 、 $A C$ 上，四边形 $E F G H$ 是矩形， $E H = 2 E F ， A D$ 是 $△ A B C$ 的高． $B C = 8 ， A D = 6$ ，那么 $E H$ 的长为．

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15. 数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为米.

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16. 如图，在平行四边形ABCD中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ，分别以A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为.

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8 ， A D = 4$ ，点E是 $D C$ 边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作 $A F ⊥ A E$ 交 $C B$ 的延长线于点F，设 $D E = a$ ．

(1)、求 $B F$ 的长（用含a的代数式表示）；

(2)、连接 $E F$ 交 $A B$ 于点G，连接 $G C$ ，当 $G C // A E$ 时，求证：四边形 $A G C E$ 是菱形．

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18. 如图①、图②、图③均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)、网格中 $△ A B C$ 的形状是；

(2)、在图①中确定一点D，连结 $D B$ 、 $D C$ ，使 $△ D B C$ 与 $△ A B C$ 全等：

(3)、在图②中 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上确定一点E，连结 $A E$ ，使 $△ A B E ∽ △ C B A$ ：

(4)、在图③中 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结 $P Q$ ，使 $△ P B Q ∽ △ A B C$ ，且相似比为1：2．

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形，点E在 $A C$ 的延长线上， $∠ A C D = ∠ A B E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ A E B$ ；

(2)、当 $A B = 6 ， A C = 4$ 时，求 $A E$ 的长．

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20. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形， $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{4}$ 、

(1)、若AB=8，求线段AD的长．

(2)、若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．

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21. 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：

(1)、∠CAE=∠BAF；

(2)、CF·FQ=AF·BQ

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22. 如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．

(1)、判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；

(2)、延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 ▲ ；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．

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23. 下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， $△ A B C$ 与 $△ D B C$ 的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：
设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为 $h$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot h$ ， $S_{△ D B C} = \frac{1}{2} B C \cdot h$ ．
∴ $S_{△ A B C} = S_{△ D B C}$ ．
【探究】

(1)、如图②，当点 $D$ 在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间时，设点 $A$ ， $D$ 到直线 $l_{2}$ 的距离分别为 $h$ ， $h^{'}$ ，则 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} = \frac{h}{h^{'}}$ ．
证明：∵ $S_{△ A B C}$       ▲
      ▲
      ▲

(2)、如图③，当点 $D$ 在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间时，连接 $A D$ 并延长交 $l_{2}$ 于点 $M$ ，则 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} = \frac{A M}{D M}$ ．
证明：过点 $A$ 作 $A E ⊥ B M$ ，垂足为 $E$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B M$ ，垂足为 $F$ ，则 $∠ A E M = ∠ D F M = 90 °$ ，
∴ $A E ∥$       ▲ ．
∴ $△ A E M ∽$       ▲ ．
∴ $\frac{A E}{D F} = \frac{A M}{D M}$ ．
由【探究】（1）可知 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} =$       ▲ ，
∴ $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}} = \frac{A M}{D M}$ ．

(3)、如图④，当点 $D$ 在 $l_{2}$ 下方时，连接 $A D$ 交 $l_{2}$ 于点 $E$ ．若点 $A$ ， $E$ ， $D$ 所对应的刻度值分别为5，1.5，0， $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ D B C}}$ 的值为．

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