河南省创新联盟2022-2023学年高一上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-10-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（）

A、所有很大的实数组成的集合 B、满足不等式 $\sqrt{x + 1} < 2$ 的所有整数解组成的集合 C、所有大于 $- 4$ 的偶数组成的集合 D、所有到 $x ， y$ 轴距离均为1的点组成的集合

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2. 命题“ $\exists x \in (0 ， + ∞) ， \frac{1}{x} + 1 < 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in (0 ， + ∞) ， \frac{1}{x} + 1 > 0$ B、 $\exists x \in (0 ， + ∞) ， \frac{1}{x} + 1 \geq 0$ C、 $\forall x \in (0 ， + ∞) ， \frac{1}{x} + 1 > 0$ D、 $\forall x \in (0 ， + ∞) ， \frac{1}{x} + 1 \geq 0$

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3. 已知集合 $A = {x | 0 \leq 2 - x \leq 4} ， B = {x | 1 - x > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$ B、 ${2}$ C、 ${x ∣ - 2 ⩽ x < 1}$ D、 ${x ∣ 1 < x ⩽ 2}$

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4. 下列四个写法：① ${1} \in {1 ， 2}$ ；② $\emptyset \subseteq {0}$ ；③ ${3 ， 2 ， 1} \subseteq {1 ， 2 ， 3}$ ；④ ${y ∣ y = x} \subseteq {(x ， y) ∣ y = x}$ .其中正确写法的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. “ $x < 1$ ”是“ $x^{2} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若 $- 1 < a < 3 ， 2 < b < 4$ ，则下列各式恒成立的是（）

A、 $1 < a - 2 b + 1 < 4$ B、 $- 4 < a - 2 b + 1 < - 1$ C、 $- 9 < a - 2 b + 1 < - 1$ D、 $- 8 < a - 2 b + 1 < 0$

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7. 已知 $P = a^{2} + b^{2} + \frac{1}{c^{2}} + c^{2} ， Q = 2 a + 2 b$ ，则（）

A、 $P ⩽ Q$ B、 $P = Q$ C、 $P ⩾ Q$ D、 $P ， Q$ 的大小无法确定

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8. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ，则满足 $A \cup B = {x \in N_{+} ∣ x ⩽ 4}$ 的集合 $B$ 的个数是（）

A、7 B、8 C、15 D、16

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二、多选题

9. 图中矩形表示集合 $U$ ，两个椭圆分别表示集合 $M ， N$ ，则图中的阴影部分可以表示为（）

A、 $M ∪ (∁_{U} N)$ B、 $N \cap (∁_{U} M)$ C、 $[∁_{U} (M \cap N)] \cup M$ D、 $[∁_{U} (M \cup N)] \cup M$

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10. 下列命题中为真命题的是（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} < x$ B、 $\forall x \in R ， x^{2} + x > 0$ C、“ $x \in Q$ ”是“ $x \in Z$ ”的必要不充分条件 D、“ $x > 2$ ”的一个充分不必要条件可以是“ $x > 3$ "

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11. 如果 $c > 0 > b > a$ ，那么下列不等式一定成立的是（）

A、 $c^{2} + a b > (a + b) c$ B、 $a^{2} b < b^{3}$ C、 $- a b < - a^{2}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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12. 已知 $a < b ， c < d$ ，若 $\forall x \in R ， (x - a) (x - b) + 1 = (x - c) (x - d)$ ，则（）

A、 $c < b < d$ B、 $c < a < d$ C、 $a < c < b$ D、 $a < d < b$

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三、填空题

13. 若 $x > 1$ ，则 $2 x + \frac{6}{x - 1}$ 的最小值为.

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14. 定义两种新运算“ $\oplus$ ”与“ $\otimes$ ”，满足如下运算法则：对任意的 $a ， b \in R$ ，有 $a \oplus b = a b + a ， a \otimes b = a b - b$ .若 $A = {x ∣ x = 2 (a \oplus b) + a \otimes b ， - 1 < a < b < 3$ 且 $a \in Z ， b \in Z}$ ，则用列举法表示的 $A =$ .

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15. 某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有 $57$ 人参加田径比赛，有 $11$ 人参加游泳比赛，有 $62$ 人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有 $14$ 人参加田径比赛，有 $4$ 人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有 $8$ 人；同时参加三项比赛的有 $2$ 人.则高一年级参加比赛的同学有.

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 是一个展览厅的俯视图， $△ B E F$ 是办公区域， $A D = 2$ ， $△ D E F$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ，则办公区域 $△ B E F$ 面积的最小值为，此时 $D E =$ .

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x ， - 2 ， 3} ， B = {1 - x ， 3}$ .

(1)、若 $x = 0$ ，写出 $A$ 的所有子集；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求 $A ∪ B$ .

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18. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $2 x + y = 1$ .

(1)、求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值.

(2)、是否存在正实数 $x ， y$ ，使得 $4 x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ ？请说明理由.

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19. 已知集合 $A = {x ∣ x > 4}$ ，集合 $B = {x ∣ x^{2} - 6 x + 5 \leq 0}$ ，集合 $C = {x ∣ m \leq x \leq 2 m - 2}$ .

(1)、求 $A ∩ (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cup C = A$ ，求 $m$ 的取值范围.

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20.

(1)、若不等式 $a x^{2} + b x - 1 < 0$ 的解集是 ${x ∣ - 1 < x < \frac{1}{3}}$ ，求 $a ， b$ 的值；

(2)、若 $b = - 3 a - 1$ ，且关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x - 1 = 0$ 有两个不同的负根，求 $a$ 的取值范围.

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21. 已知 $p$ ：“实数 $a$ 满足 ${x ∣ m ⩽ x ⩽ m + 1} \underset{\neq}{\subset} {x ∣ 1 ⩽ x ⩽ a}$ ”， $q ：$ “ $\forall x \in R ， \sqrt{a x^{2} + a x + 3}$ 都有意义”.

(1)、已知 $m = 1 ， p$ 为假命题， $q$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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22.

(1)、若命题“对任意实数 $x$ ，都有 $a x^{2} - (1 - 2 a) x - 2 ⩾ - x - 3$ ”为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - (1 - 2 a) x - 2 < 0 (a \in R)$ .

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