河南省豫北名校2022-2023学年高二上学期数学9月教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-10-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{c} = (1 ， 2 ， 4)$ ，则 ${\vec{c}}^{2}$ 的值为（）

A、 $(1 ， 4 ， 16)$ B、21 C、 $\sqrt{21}$ D、4

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2. 直线 $x + \sqrt{3} y - 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 已知圆的一般方程为 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 4 = 0$ ，其圆心坐标是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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4. 与向量 $\vec{n} = (1 ， - 1 ， 2)$ 反向的单位向量的坐标为（）

A、 $(- \frac{\sqrt{6}}{6} ， \frac{\sqrt{6}}{6} ， - \frac{\sqrt{6}}{3})$ B、 $(\frac{\sqrt{6}}{6} ， - \frac{\sqrt{6}}{6} ， \frac{\sqrt{6}}{3})$ C、 $(- 1 ， 1 ， - 2)$ D、 $(\frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} ， 1)$

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5. 已知直线 $l_{1} ： x - 2 y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： 2 x + a y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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6. 圆 $(x + 1)^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$ 的位置关系是（）

A、内切 B、相交 C、外切 D、相离

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7. 已知圆 $x^{2} - 4 x + y^{2} - 2 y = 5$ 关于直线 $2 a x + y + b - 3 = 0$ （a，b为大于0的数）对称，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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8. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1 ， 4)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， 2 ， t)$ 的夹角为锐角，则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $(8 ， + \infty)$ B、 $(- \frac{5}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{5}{2})$ D、 $(- \frac{5}{2} ， 8) \cup (8 ， + \infty)$

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9. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 底面是直角三角形，且 $B C = A B = A A_{1}$ ， E，F，G分别为 $A B$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，则EF与平面 $B_{1} G F$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{5}$

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10. 已知点 $A (1 ， 1)$ ， $C (- 2 ， 0)$ ，点 $A$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 的对称点为点 $B$ ，在 $△ P B C$ 中， $| P C | = \sqrt{2} | P B |$ ，则 $△ P B C$ 面积的最大值为（）

A、 $16 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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11. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为2的正方形．若 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ，且 $A A_{1} = 3$ ，则 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{29}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、5

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12. 若直线 $k x + y + 2 - 2 k = 0$ 与曲线 $\sqrt{4 - (y - 1)^{2}} + 1 = x$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1 - \frac{2 \sqrt{6}}{3}) \cup [5 ， + \infty)$ B、 $(\frac{4}{3} ， 4]$ C、 $[- 2 ， - 1 + \frac{2 \sqrt{6}}{3}) \cup (\frac{4}{3} ， 2]$ D、 $(\frac{4}{3} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 是关于 $a$ 的方程 $2 a^{2} + 8 a + n = 0$ 的两根，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $n =$ ．

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14. 已知 $A (- 1 ， 2 ， 0)$ ， $B (1 ， 2 ， 1)$ ， $C (2 ， - 1 ， 3)$ ，点 $P (x ， 0 ， z)$ ，若 $P A ⊥$ 平面ABC，则点 $P$ 的坐标为．

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15. 若圆 $C_{1} ： (x + 2)^{2} + (y - 4)^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上恰有2个点到直线 $l ： 4 x - 3 y - 5 = 0$ 的距离为2，则实数 $r$ 的取值范围为．

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16. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4， $M$ ， $N$ ， $G$ 分别是棱 $A A_{1}$ ， $B C$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，设 $Q$ 是该正方体表面上的一点，若 $\vec{M Q} = x \vec{M G} + y \vec{M N} (x ， y \in R)$ ，则点 $Q$ 的轨迹围成图形的面积是； $\vec{M G} \cdot \vec{M Q}$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 已知直线 $l_{1} ： x + m y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： 2 x - y - 4 = 0$ ， $l_{3} ： 3 x + y - 1 = 0$ ．

(1)、若这三条直线交于一点，求实数 $m$ 的值；

(2)、若三条直线能构成三角形，求 $m$ 满足的条件．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为矩形， $A B ⊥$ 平面PAD，E是AD的中点， $△ P A D$ 为等腰直角三角形， $D P ⊥ A P$ ， $P A = \sqrt{2} A B$ ．

(1)、求证： $P E ⊥ B D$ ；

(2)、求PC与平面PBE所成角的正弦值．

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19. 已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - m = 0$ ．

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若圆 $C$ 与直线 $l ： x + y + 3 = 0$ 交于M，N两点，且 $| M N | = 2 \sqrt{3}$ ，求 $m$ 的值．

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20. 在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，且满足 $A E = C F =$ $C P = 1$ （如图1），将 $△ A E F$ 沿EF折起到 $△ A_{1} E F$ 的位置，使二面角 $A_{1} - E F - B$ 成直二面角，连接 $A_{1} B$ ， $A_{1} P$ （如图2）．

(1)、求证： $A_{1} E ⊥ E P$ ；

(2)、求二面角 $B - A_{1} P - F$ 的正弦值．

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21. 已知直线 $l ： (2 m + 1) x - (3 + m) y + m - 7 = 0$ ．

(1)、 $m$ 为何值时，点 $Q (3 ， 4)$ 到直线 $l$ 的距离最大?并求出最大值；

(2)、若直线 $l$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴的负半轴交于A，B两点，求 $△ A O B$ （ $O$ 为坐标原点）面积的最小值及此时直线 $l$ 的方程．

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22. 如图，已知圆 $M ： x^{2} - 4 x + y^{2} + 3 = 0$ ，点 $P (- 1 ， t)$ 为直线 $l ： x = - 1$ 上一动点，过点 $P$ 引圆 $M$ 的两条切线，切点分别为A，B

(1)、求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；

(2)、求线段AB中点的轨迹方程；

(3)、若两条切线 $P A ， P B$ 与 $y$ 轴分别交于 $S ， T$ 两点，求 $| S T |$ 的最小值.

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