湖北省部分重点中学2022-2023学年高二上学期数学9月联考试卷

试卷更新日期：2022-10-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | ＝ 1 ， | \vec{b} | ＝ 4$ ，若 $(3 \vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、－2 D、2

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2. 若复数z满足 $(2 + i) z = | 1 + 2 i |$ ，则z的虚部为（）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5} i$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5} i$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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3. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 表示直线， $α$ 表示平面，给出下列命题：
①若 $a // α$ ， $b // α$ ，那么 $a // b$ ；②若 $b \subset α$ ， $a // α$ ，那么 $a // b$ ；③若 $a ⊥ c$ ， $b ⊥ c$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ；④若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ α$ ，那么 $a // b$ ．其中正确的命题个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形， $E F$ $∥$ 平面ABCD， $E F = 2$ ，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $4 π$

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5. 某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）

A、这五个社团的总人数为100 B、脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20% C、这五个社团总人数占该校学生人数的8% D、从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%

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6. 已知平面上三点坐标为 $A (2 ， - 1)$ 、 $B (0 ， 2)$ 、 $C (1 ， 0)$ ，小明在点 $B$ 处休息，一只小狗沿 $A C$ 所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（）

A、 $(- \frac{3}{8} ， \frac{11}{8})$ B、 $(- \frac{5}{12} ， \frac{19}{12})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{3}{5} ， \frac{7}{5})$

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7. 高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为 $a$ 、 $b$ 、 $\frac{1}{4}$ ，该同学可以进入两个社团的概率为 $\frac{1}{5}$ ，且三个社团都进不了的概率为 $\frac{3}{10}$ ，则 $a b =$ （）

A、 $\frac{3}{20}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{15}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9$ ， $s i n (A + C) = c o s A s i n C$ ， $S_{△ A B C} = 6$ ， $P$ 为线段 $A B$ 上的动点，且 $\vec{C P} = x \cdot \frac{\vec{C A}}{| \vec{C A} |} + y \cdot \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |}$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{11}{6} + \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{11}{6}$ C、 $\frac{11}{12} + \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{11}{12}$

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、若 $A$ ， $B$ 互为对立事件， $P (A) = 1$ ，则 $P (B) = 0$ B、若事件 $A$ ， $B$ ， $C$ 两两互斥，则事件 $A$ 与 $B \cup C$ 互斥 C、若事件 $A$ 与 $B$ 对立，则 $P (A \cup B) = 1$ D、若事件 $A$ 与 $B$ 互斥，则它们的对立事件也互斥

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10. 下列说法中错误的为（）

A、已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3} ， + \infty)$ B、向量 $\vec{e_{1}} = (2 ， - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (\frac{1}{2} ， - \frac{3}{4})$ 不能作为平面内所有向量的一组基底 C、非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | < | \vec{b} |$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ D、非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为 $3 0^{∘}$

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11. 在棱长为 $\sqrt{3}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在正方形 $A D D_{1} A_{1}$ 内 $($ 含边界 $)$ 运动，则下列结论正确的是（）．

A、若点P在 $A D_{1}$ 上运动，则 $P B ⊥ A_{1} D$ B、若 $P B / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ，则点P在 $A_{1} D$ 上运动 C、存在点P，使得平面PBD截该正方体的截面是五边形 D、若 $P A = 2 P D$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的体积最大值为1

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12. 已知 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 是圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 上两点，则下列结论正确的是（）

A、若 $| A B | = 1$ ，则 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ B、若点O到直线AB的距离为 $\frac{1}{2}$ ，则 $| A B | = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、若 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ，则 $| x_{1} + y_{1} - 1 | + | x_{2} + y_{2} - 1 |$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ D、若 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ，则 $| x_{1} + y_{1} - 1 | + | x_{2} + y_{2} - 1 |$ 的最大值为4

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三、填空题

13. 向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ 在向量 $\vec{b} = (3 ， 4)$ 方向上的投影向量的坐标为.

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14. 定义一个新的运算： $| \begin{array}{l} a b \\ c d \end{array} | = a d - b c$ ．若复数z使 $| \begin{array}{l} 2 z i & 3 \\ 2 & 2 i \end{array} | = z^{2}$ ，则 $z =$ ．

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15. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位临湘市居民，他们的幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的 80%分位数是.

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16. 如图，四棱锥 $F - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是菱形，其对角线 $A C = 2$ ， $B D = \sqrt{2}$ ， $A E$ 、 $C F$ 都与平面 $A B C D$ 垂直， $A E = 1$ ， $C F = 2$ ．则三棱锥 $E - A B D$ 与四棱锥 $F - A B C D$ 公共部分的体积是．

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四、解答题

17. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，____．
① $\sqrt{3} a - \sqrt{3} c c o s B + b s i n C = 0$ ；② $\frac{a - c}{a + b} + \frac{s i n B}{s i n A + s i n C} = 0$ ；③ $2 c o s^{2} \frac{A + B}{2} + c o s 2 C - 1 = 0$ ．
请在以上三个条件中任选一个补充在横线处，并解答：

(1)、求角C的值；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3} ， \vec{C D} = \frac{\vec{C A} + \vec{C B}}{2}$ 且 $| \vec{C D} | = \sqrt{2}$ ，求 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的值．

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18. 过点 $P (2 ， 1)$ 作直线 $l$ 分别交 $x ， y$ 轴正半轴于 $A ， B$ 两点

(1)、当 $△ A O B$ 面积最小时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、当 $| P A | \cdot | P B |$ 取最小值时，求直线 $l$ 的方程

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19. 已知 $R t △ A B C$ 的斜边为 $A B$ ，且 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ .求：

(1)、直角顶点 $C$ 的轨迹方程；

(2)、直角边 $B C$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

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20. 为打造精品赛事，某市举办“南粤古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：

组数	速度（千米/小时）	参赛人数（单位：人）
少年组	$[6 ， 8)$	300
成年组	$[8 ， 10)$	600
专业组	$[10 ， 12]$	$b$

(1)、求a ， b的值；

(2)、估计本次大赛所有选手的平均速度（同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到0.01）；

(3)、通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人都来自“成年组”的概率.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A = A D = 4$ ， $A B = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $M$ 是PD的中点．

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求异面直线 $C D$ 与 $B M$ 所成角的正切值；

(3)、求平面 $M A B$ 与平面 $M B C$ 所成的夹角的大小．

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22. 在2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接．如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆 $I_{1}$ ， $I_{2}$ ， $I_{3}$ ， $I_{4}$ ，与圆柱 $O O_{1}$ 底面相切于A， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点，且圆 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ ， $I_{2}$ 与 $I_{3}$ ， $I_{3}$ 与 $I_{4}$ ， $I_{4}$ 与 $I_{1}$ 分别外切，线段 $A_{1} A$ 为圆柱 $O O_{1}$ 的母线．点 $M$ 线段 $A_{1} O_{1}$ 中点，点 $N$ 在线段 $C O_{1}$ 上，且 $C N = 2 N O_{1}$ ．已知圆柱 $O O_{1}$ ，底面半径为2， $A A_{1} = 4$ .

(1)、求证： $A M / /$ 平面 $B D N$ ；

(2)、线段 $A A_{1}$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $O E ⊥$ 平面 $B D N$ ?若存在，请求出 $A E$ 的长，若不存在，请说明理由；

(3)、如图，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图．天和核心舱为底面半径为2的圆柱 $O_{2} O_{3}$ ，它与飞船推进舱共轴，即 $O$ ， $O_{1}$ ， $O_{2}$ ， $O_{3}$ 共线．核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形 $R S T$ 为以 $R S$ 为斜边的等腰直角三角形，四边形 $P Q R S$ 为矩形．已知推进舱与核心舱的距离为4，即 $O_{1} O_{2} = 4$ ，且 $O_{2} O_{3} = R S = 2$ ， $P S = 7$ ．在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线 $A_{1} P$ 与平面 $P Q R S$ 所成角的正弦值的最大值．

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