江西省上饶市广丰区重点高中2022-2023学年高二上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2022-10-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x > 0}$ ， $B = {x | l o g_{2} x < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 4}$ B、 ${x | x < 0 或 1 < x < 2}$ C、 ${x | x < 0 或 1 < x < 4}$ D、 ${x | 1 < x < 2}$

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2. 已知a， $b \in R$ ， i为虚数单位，则“复数 $z = a + b i$ 是虚数但不是纯虚数”是“ $a^{2} + b^{2} \neq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知命题 $p ： \exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + (a - 1) x_{0} + 1 < 0$ ，若命题 $p$ 是假命题，则 $a$ 的取值范围为（）

A、1≤a≤3 B、-1<a<3 C、-1≤a≤3 D、0≤a≤2

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4. 若 $a = \frac{l g 3}{2}$ ， $b = \frac{l g 4}{3}$ ， $c = \frac{l g 5}{4}$ ，则正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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5. 若 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $- \frac{π}{2} < β < 0$ ， $c o s (\frac{π}{4} + α) = \frac{1}{3}$ ， $c o s (\frac{π}{4} - \frac{β}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s (α + \frac{β}{2}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{9}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， P为 $C D$ 上一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，若 $| \vec{A C} | = 3$ ， $| \vec{A B} | = 4$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{C D}$ 的值为（）

A、-3 B、 $- \frac{13}{12}$ C、 $\frac{13}{12}$ D、 $\frac{1}{12}$

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7. 若直线 $x = 2 \sqrt{2} y - 3 \sqrt{2}$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $- 2 \sqrt{2}$ D、－4

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8. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若 $| M N | = | F_{1} F_{2} |$ ， $2 \sqrt{2} | M F_{2} | = | N F_{2} |$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{6 \sqrt{2} - 3}{7}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2} - 3}{7}$

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二、多选题

9. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l ： (3 + m) x + 4 y - 3 + 3 m = 0 ， (m \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(3 ， 3)$ B、当 $m = 0$ 时，圆 $C$ 上有且仅有三个点到直线 $l$ 的距离都等于1 C、圆 $C$ 与曲线 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + m = 0$ 恰有三条公切线，则 $m = 16$ D、当 $m = 13$ 时，直线 $l$ 上.个动点 $P$ 向圆 $C$ 引两条切线 $P A ， P B$ ，其中 $A ， B$ 为切点，则直线 $A B$ 经过点 $\begin{matrix} (- \frac{16}{9} ， - \frac{4}{9}) \end{matrix}$

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10. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=2，PB= $\sqrt{6}$ ，侧面PAD为正三角形，则下列说法正确的是（）

A、平面PAD⊥平面ABCD B、异面直线AD与PB所成的角为60° C、二面角P－BC－A的大小为45° D、三棱锥P－ABD外接球的表面积为 $\frac{20}{3} π$

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11. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $y = m (0 < m < \sqrt{3})$ 与椭圆交于 $A ， B$ 两点，则（）

A、 $| A F | + | B F |$ 为定值 B、 $△ A B F$ 的周长的取值范围是 $[6 ， 12]$ C、当 $m = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时， $△ A B F$ 为直角三角形 D、当 $m = 1$ 时， $△ A B F$ 的面积为 $\sqrt{6}$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作垂直于渐近线的直线 $l$ 交两渐近线于A，B两点，若 $3 | F_{2} A | = | F_{2} B |$ ，则双曲线C的离心率可能为（）

A、 $\frac{\sqrt{141}}{11}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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三、填空题

13. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对应的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $c = 4 ， c^{2} = a^{2} + 4 b^{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积取得最大值时， $c o s C$ = ．

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14. 已知 $\vec{O A} ， \vec{O C}$ 为正交基底，且 $\vec{O B} = λ \vec{O A} ， \vec{O D} = μ \vec{O C} ， λ > μ > 1$ ， $P ， Q$ 分别为 $A C ， B D$ 的中点，若 $| \vec{A B} | | \vec{C D} | = 1$ ，则 $| \vec{P Q} |$ 的最小值为.

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15. 已知复数z满足 $| z - i | = 2 ， \bar{z}$ 为z的共轭复数，则 $z \bar{z}$ 的最大值为．

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，其左右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{7} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{7} ， 0)$ ，点P是双曲线右支上的一点，点I为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心（内切圆的圆心）， $\vec{P I} = x \vec{P F_{1}} + y \vec{P F_{2}}$ ，若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ， $y = 3 x$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆的半径为.

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四、解答题

17. 已知 $f (x) = l o g_{2} (a x + 1) (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (3 x - 2)$ 的定义域及不等式 $f (3 x - 2) > 0$ 的解集；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + l o g_{2} x$ 只有一个零点，求实数a的取值范围．

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18. 已知在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b = 7$ ， $a c o s B + b c o s A = 2 c c o s B$ ．

(1)、求 $\frac{a}{s i n A}$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $10 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，PA垂直于 $⊙ O$ 所在的平面，C是圆周上不同于A､B的任意一点，且 $P A = A B$ .求证：

(1)、平面 $P A C ⊥$ 平面PBC；

(2)、当点C（不与A､B重合）在圆周上运动时，求平面PBC与 $⊙ O$ 所在的平面所成二面角大小的范围.

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20. 已知圆 $C$ 过点 $A (4 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $l$ ： $x + y - 6 = 0$ 上.

(1)、若从点 $M (4 ， 1)$ 发出的光线经过直线 $y = - x$ 反射，反射光线 $l_{1}$ 恰好平分圆 $C$ 的圆周，求反射光线 $l_{1}$ 的一般方程.

(2)、若点 $Q$ 在直线 $l$ 上运动，求 $Q A^{2} + Q B^{2}$ 的最小值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2} ， P$ 为 $C$ 上一点， $O$ 为坐标原点， $P F_{2} ⊥ x$ 轴，且 $| O P | = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $y = k x + t (t \neq 0)$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，过点 $B$ 作直线 $y = 3 \sqrt{2}$ 的垂线，垂足为 $D$ ，当直线 $A D$ 与 $y$ 轴的交点为定点时，求 $t$ 的值．

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22. 双曲线 $C_{1} ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦点相同，且渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，双曲线 $C_{1}$ 的上下顶点分别为A，B．过椭圆 $C_{2}$ 上顶点R的直线l与双曲线 $C_{1}$ 交于点P，Q（P，Q不与A，B重合），记直线 $P A$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $Q B$ 的斜率为 $k_{2}$ ．

(1)、求双曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、证明 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值，并求出该定值．

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