河南省开封市五县2022-2023学年高二上学期数学第一次月考联考试卷

试卷更新日期：2022-10-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 直线 $2 x + 3 y + 1 = 0$ 的一个方向向量是（）

A、 $(- 2 ， 3)$ B、 $(3 ， - 2)$ C、 $(3 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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2. 如图所示，已知三棱锥 $O - A B C$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $O C$ 的中点，且 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{M N}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{c} - \vec{a} - \vec{b})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c} - \vec{a})$

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3. 已知 $⊙ C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 2 = 0$ ， $⊙ C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ ，那么它们的位置关系是（）

A、外离 B、相切 C、相交 D、内含

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4. 若 $\vec{a} = (1 ， λ ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1 ， 2)$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{8}{9}$ ，则 $λ$ 等于（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $- 2$ 或 $\frac{2}{55}$ D、2或 $- \frac{2}{55}$

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5. 若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{5}$

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6. 经过 $A (0 ， 0) ， B (4 ， 0) ， C (- 1 ， 1) ， D (4 ， 2)$ 中三个点的圆的方程不可以是（）

A、 $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 13$ B、 $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 13$ C、 ${(x - \frac{4}{3})}^{2} + {(y - \frac{7}{3})}^{2} = \frac{65}{9}$ D、 ${(x - \frac{8}{5})}^{2} + (y - 1)^{2} = \frac{169}{25}$

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7. 如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3 - \sqrt{2}}$

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8. 设入射光线沿直线 $y = 2 x + 1$ 射向直线 $y = x$ ，则被 $y = x$ 反射后，反射光线所在的直线方程是（）

A、 $x - 2 y - 1 = 0$ B、 $x - 2 y + 1 = 0$ C、 $x + 2 y + 3 = 0$ D、 $3 x - 2 y + 1 = 0$

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9. 已知 $Δ A B C$ 的三边长为 $a ， b ， c$ ，满足直线 $a x + b y + 2 c = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相离，则 $Δ A B C$ 是（）

A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、以上情况都有可能

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10. 设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是（）

A、平行 B、重合 C、垂直 D、相交但不垂直

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11. 在下列命题中：
①若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 共线，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 所在的直线平行；
②若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 所在的直线为异面直线，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 一定不共面；
③若三个向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 两两共面，则向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 共面；
④已知空间的三个不共面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ ，则对于空间的任意一个向量 $\vec{p}$ ，总存在实数 $x ， y ， z$ 使得 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ .
其中正确命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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12. 关于 $x$ 的方程 $\sqrt{1 - x^{2}} = m x + 1 (m \in R)$ 有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $[- 1 ， 0) \cup (0 ， 1]$ D、 $(0 ， 1]$

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二、填空题

13. 过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为．

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14. 平面 $α$ 的法向量为 $(1 ， 0 ， - 1)$ ，平面 $β$ 的法向量为 $(0 ， - 1 ， 1)$ ，则平面 $α$ 与平面 $β$ 所成二面角的大小为.

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15. 直线 $l$ 的方程为 $x - y s i n θ + 2 = 0 (θ \in R)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 的范围是.

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16. 在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 2 ， A C = \sqrt{2} B C$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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三、解答题

17. 已知直线 $l_{1}$ 的方程为 $3 x - 4 y + 2 = 0$ ，按照下列要求，求直线 $l$ 的方程：

(1)、 $l$ 与 $l_{1}$ 垂直，且过点 $(1 ， 3)$ ；

(2)、 $l / / l_{1}$ ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6.

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18. 已知 $M (m ， n)$ 为圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 14 y + 45 = 0$ 上任意一点.

(1)、求 $m + 2 n$ 的取值范围；

(2)、求 $\frac{n - 3}{m + 2}$ 的最大值和最小值.

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19. 如图，在棱长为 $a$ 的正方体 $O A B C - O_{1} A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是棱 $A B$ 、 $B C$ 上的动点，且 $A E = B F$ .

(1)、求证： $A_{1} F ⊥ C_{1} E$ ；

(2)、当三棱锥 $B_{1} - B E F$ 的体积取得最大值时，求平面 $B_{1} E F$ 与平面 $B E F$ 的夹角余弦值.

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20. 已知方程x²＋y²－2x－4y＋m＝0．

(1)、若此方程表示圆，求m的取值范围；

(2)、若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；

(3)、在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

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21. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B ∥ C D ， B C ⊥ C D ， △ S A B$ 为等边三角形， $A B = B C = 2$ ， $C D = S D = 1$ .

(1)、证明： $S D ⊥$ 平面 $S A B$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $S B C$ 所成角的正弦值.

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22. 已知点 $P (2 ， 2)$ ，圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 8 y = 0$ ，过点 $P$ 的动直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ， $O$ 为坐标原点．

(1)、求 $M$ 的轨迹方程；

(2)、当 $| O P | = | O M |$ 时，求 $l$ 的方程及 $△ P O M$ 的面积．

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