吉林省长春市新区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-10-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 化简二次根式 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 的符合题意结果是（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A、 $x + \frac{1}{x} = 2$ B、2x²﹣x＝1 C、3x³＝1 D、xy＝4

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3. 若 $\frac{b}{a - b}$ = $\frac{1}{4}$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为（）

A、5 B、 $\frac{1}{5}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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4. 有5张完全相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5这5个数字，现把卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，其数字是奇数的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 根据下列表格中的对应值，判断方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ， a，b，c为常数）的根的个数是（）
$x$
6.17
6.18
6.19
6.20
$y = a x^{2} + b x + c$
0.02
-0.01
0.02
0.04

A、0 B、1 C、2 D、1或2

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6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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7.
已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在平面直角坐标系中，若函数 $y = (k - 2) x^{2} - 2 k x + k$ 的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的 $k$ 值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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二、填空题

9. 计算sin60°+tan30°= ．

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10. 若关于x的方程x²+（m²﹣2）x﹣15＝0有一个根是x＝3，则m的值是．

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11. 已知二次函数 $y = {(x - m)}^{2} + 1$ ，当 $x < 1$ 时，y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的m的值是.

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12. 某市某楼盘准备以每平方米7200元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米5832元的均价开盘销售．则平均每次下调的百分率为．

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13. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1.5米后，水面的宽度为米．

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14. 如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐角）为∠1，则sin∠1=.

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三、解答题

15. 解方程：x²+2x﹣2＝0．

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16. 先化简，再求值：6x²+2xy﹣8y²﹣2（3xy﹣4y²+3x²），其中x＝ $\sqrt{2}$ ，y＝ $\sqrt{6}$ ．

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17. 某校围棋队共有4名队员，分别是：小明、小红、小聪、小丽，其中小明、小红来自八年级，小聪、小丽来自九年级，现准备抽取两名队员参加集训．

(1)、若从八年级、九年级中各随机抽取一人，则小红和小丽恰好被抽到参加集训的概率为；

(2)、若从四名队员中随机抽取两名队员，请用列表法或画树状图法求抽到小明和小聪的概率．

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18. 在 $5 \times 5$ 的方格中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，我们把像这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图

(1)、在图1的方格中作出与 $△ A B C$ 相似的最小格点三角形.

(2)、在图2中把线段AC分成三条相等的线段 $A E = E F = F C$ ，点E，F都在线段AC上.
（①只能用无刻度的直尺作直线；②保留作图痕迹）

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19. 全球最长跨海大桥——港珠澳大桥连接香港、澳门、珠海三地，总长55千米．大桥某段采用低塔斜拉桥桥型，图2是从图1引申出的平面图．假设你站在桥上测得拉索 $A B$ 与水平桥面的夹角是 $30 °$ ，拉索 $C D$ 与水平桥面的夹角是 $60 °$ ，两拉索顶端的距离 $B C$ 为2米，两拉索底端距离 $A D$ 为20米，请求出立柱 $B H$ 的长．（结果精确到0.1米， $\sqrt{3} = 1.732$ ）．

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20. 如图，有一道长为 $25 m$ 的墙，计划用总长为 $50 m$ 的栅栏，靠墙围成由三个小长方形组成的矩形花圃 $A B C D$ ．若花圃 $A B C D$ 的面积为 $150 m^{2}$ ，求 $A B$ 的长．

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21. 已知关于x的一元二次方程mx²﹣（m+2）x+2=0．

(1)、证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

(2)、m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

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22. 如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE．

(1)、求证：△ACD∽△BCE；

(2)、若点D是BC的中点，CE＝6，BE＝8，求AB的长．

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23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t秒．

(1)、求线段CD的长；

(2)、设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(3)、当t为何值时，△CPQ与△CAD相似？请直接写出t的值．

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24. 已知二次函数y＝ax²﹣2ax﹣2（a≠0）．

(1)、该二次函数图象的对称轴是直线；

(2)、若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为 $\frac{11}{2}$ ，求点M和点N的坐标；

(3)、已知线段PQ的两个端点坐标分别为P（0，﹣4）、Q（3，﹣4），当此函数图象与线段PQ只有一个交点时，直接写出a的取值范围．

(4)、对于该二次函数图象上的两点A（x₁ ， y₁）、B（x₂ ， y₂），当x₂≥3时，y₁≥y₂恒成立，设t≤x₁≤t+1，请结合图象，直接写出t的取值范围

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$x$	6.17	6.18	6.19	6.20
$y = a x^{2} + b x + c$	0.02	-0.01	0.02	0.04