吉林省长春市汽开区2021-2022学年上学期九年级期末数学试题

试卷更新日期：2022-10-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 当函数 $y = (a - 1) x^{2} + b x + c$ 是二次函数时，a的取值为（）

A、 $a = 1$ B、 $a = - 1$ C、 $a \neq - 1$ D、 $a \neq 1$

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2. 掷一枚均匀的正方体骰子，掷得“6”的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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3. 随着生产技术的进步，生产成本逐年下降．某工厂两年前生产一台扫地机器人的成本是900元，现在生产一台扫地机器人的成本是600元．设该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为x，则下面所列方程正确的是（）

A、 $900 \times {(1 - x)}^{2} = 600$ B、 $900 \times 2 (1 - x) = 600$ C、 $900 \times (1 - 2 x) = 600$ D、 $900 \times (1 - x^{2}) = 600$

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4. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象开口向下，顶点坐标为 $(3 ， - 7)$ ，那么该二次函数有（）

A、最小值-7 B、最大值-7 C、最小值3 D、最大值3

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5. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M，C两点间的距离为（）

A、3km B、4km C、5km D、6km

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6. 如图，在坡角为 $α$ 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为（）

A、 $6 c o s α$ B、 $\frac{6}{c o s α}$ C、 $6 s i n α$ D、 $\frac{6}{s i n α}$

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7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 经过点 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ．若 $y < 0$ ，则x的取值范围是（）

A、 $x < 1$ B、 $x < - 1$ C、 $- 1 < x < 1$ D、 $x < - 1$ 或 $x > 3$

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8. 如图，在Rt△ABC中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA、PC为邻边作 $▱$ PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、3 C、 $\frac{24}{5}$ D、5

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二、填空题

9. 已知二次函数 $y = 3 x^{2}$ ，则其图象的开口向．（填“上”或“下”）

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10. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则k的值为．

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11. 下列事件：①长春市某天的最低气温为-200℃；②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票；③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180°，其中是随机事件的是（只填写序号）．

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12. 如图，在△ABC中， $C D ⊥ A B$ ，垂足为D．若 $A B = 12$ ， $C D = 6$ ， $t a n A = \frac{3}{2}$ ，则 $s i n B$ 的值为．

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13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在三角形内交于点P，射线AP交BC于点D，若△DAC∽△ABC，则∠B=度.

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14. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + a x + 6$ 的图象关于直线 $x = - 2$ 对称．若当 $m \leq x \leq 0$ 时，y有最大值6，最小值2，则m的取值范围是．

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三、解答题

15. 解方程： $x^{2} - 4 x - 2 = 0$

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16. 在课堂上，老师将除颜色外其余均相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学参与摸球试验，每人每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，如表是试验得到的一组数据．
摸球的次数n
100
150
200
500
1000
摸到黑球的次数m
33
51
67
166
333
摸到黑球的频率 $\frac{m}{n}$
0.33
0.34
0.335
0.332
0.333

(1)、估算口袋中白球的个数为个．

(2)、在（1）的条件下，小明从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机摸出一个小球．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次摸出的小球颜色不同的概率．

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17. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 1$ 的图象经过点 $(1 ， 3)$ 、 $(4 ， - 15)$ ，求这个二次函数的表达式．

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18. 图①、图②均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．

(1)、在图①中作△ABC的中位线EF，使点E、F分别在边AB、AC上．

(2)、在图②中作线段GH，使 $G H ∥ B C$ ， $G H = \frac{1}{3} B C$ ，点G、H分别在边AB、AC上．

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19. 某数学兴趣小组本着用数学知识解决问题的想法，来到“党史”教育基地，准备测量四平烈士塔的高度（如图①），小组数学报告得出如下信息：如图②，测角仪CD竖直放在距烈士塔AB底部18m的位置，在D处测得塔尖A的仰角为51°，测角仪的高度是1.5m．请你结合上述信息计算四平烈士塔的高度AB（精确到1m）．【参考数据： $s i n 51 ° = 0.78$ ， $c o s 51 ° = 0.63$ ， $t a n 51 ° = 1.23$ 】

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20. 观察下面的表格：
x
−1
0
1
$a x^{2}$
____
____
1
$a x^{2} + b x + c$
12
7
____

(1)、求a，b，c的值，并在表内的空格中填上正确的数．

(2)、设 $y = a x^{2} + b x + c$ ，当 $y > 0$ 时，x的取值范围为．

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21. 北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线 $C_{1} ： y = - \frac{1}{480} x^{2} + 40$ 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线 $C_{2} ： y = - \frac{1}{120} x^{2} + b x + c$ 运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线的高度为60米．

(1)、求小山坡最高点到水平线的距离．

(2)、求抛物线 $C_{2}$ 所对应的函数表达式．

(3)、当运动员滑出点A后，直接写出运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡 $C_{1}$ 的竖直距离为10米．

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22. 在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点， $∠ B A C = ∠ A E D = 90 °$ ．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．

(1)、【探究】求证： $△ B A N ∽ △ C M A$ ．

(2)、【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
$B N \cdot C M$ 的值为．

(3)、若 $B M = C N$ ，则MN的长为．

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23. 如图，在 $▱$ ABCD中， $A D = 10$ ， $A B = 8$ ， $B D ⊥ A B$ ．点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且 $Q M = 4$ ， MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒）．

(1)、 $t a n A$ 的值为．

(2)、求线段PQ的长．（用含t的代数式表示）

(3)、当 $t = 6$ 时，求△PCQ的面积．

(4)、连接 AC．当点M或点N落在AC上时，直接写出t的值．

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24. 在平面直角坐标系中， $M (t ， y_{1})$ 、 $N (t + 1 ， y_{2})$ 为抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ 上两点．

(1)、求抛物线与x轴的交点坐标．

(2)、记抛物线与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），设点P在此抛物线的对称轴上，若四边形PABM为平行四边形，求 $y_{1}$ 的值．

(3)、点M、N在抛物线上运动，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点Q，当△MNQ为等腰直角三角形时，求t的值．

(4)、记抛物线在M、N两点之间的部分为图像G（包含M、N两点），设图像G最低点的纵坐标为n．当 $6 \leq n \leq 8$ 时，直接写出t的取值范围．

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摸球的次数n	100	150	200	500	1000
摸到黑球的次数m	33	51	67	166	333
摸到黑球的频率 $\frac{m}{n}$	0.33	0.34	0.335	0.332	0.333

x	−1	0	1
$a x^{2}$	____	____	1
$a x^{2} + b x + c$	12	7	____