黑龙江省哈尔滨市南岗区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-10-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2}$ 的倒数是（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $a \cdot a^{2} = a^{2}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $a + a^{2} = a^{3}$ D、 ${(a b^{2})}^{2} = a^{2} b^{4}$

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3. 围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平面的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 抛物线 $y = {(x + 1)}^{2} - 3$ 的对称轴是（）

A、直线 $x = - 1$ B、直线 $x = 1$ C、直线 $x = - 3$ D、直线 $x = 3$

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5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 分式方程 $\frac{4}{x + 4} = \frac{2}{5}$ 的解是（）

A、 $x = 2$ B、 $x = 4$ C、 $x = 6$ D、 $x = 8$

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，点 $C$ 在过点 $B$ 的切线上， $O C ⊥ O A$ ， $O C$ 交 $A B$ 于点 $P$ .若 $∠ B P C = 70 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数等于（）

A、 $75 °$ B、 $70 °$ C、 $65 °$ D、 $60 °$

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8. 若点A（－3， $y_{1}$ ），B（－1， $y_{2}$ ），C（2， $y_{3}$ ）都在反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$

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9. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转 $60 °$ ，使点B落在点 $B^{'}$ 的位置，连接B $B^{'}$ ，过点D作DE⊥ $B B^{'}$ ，交 $B B^{'}$ 的延长线于点E，则 $B^{'} E$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $2 \sqrt{3} - 2$ C、 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3} \sqrt{3}$

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10. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（）

A、5s时，两架无人机都上升了40m B、10s时，两架无人机的高度差为20m C、乙无人机上升的速度为8m/s D、10s时，甲无人机距离地面的高度是60m

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二、填空题

11. 某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资110200000元资金．数据110200000用科学记数法可表示为．

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12. 函数y= $\frac{x}{2 x - 1}$ 中，自变量x的取值范围是．

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13. 把多项式a³－2a²+a分解因式的结果是．

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14. 计算 $\sqrt{12} + \sqrt{27}$ 的结果是．

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15. 反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 的图象经过点（1，﹣2），则k的值为．

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16. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 < 1 \\ 2 x + 3 \geq 5 \end{array}$ 的解集是．

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17. 在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是．

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18. 一个扇形的弧长是 $10 π$ cm，面积是 $200 π$ cm² ，则这个扇形的圆心角是度．

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19. 已知△ABC的三个顶点都是边长为6的同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，则点D到直线AB的距离为．

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20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，BD＝AC，CD＝2，连接AD，若 $A D = 2 \sqrt{2}$ ，则AC的长为．

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三、解答题

21. 先化简，再求代数式 $(1 + \frac{1}{a^{2} - 1}) \div \frac{a^{2}}{a - 1}$ 的值，其中 $a = 5 \sqrt{\frac{1}{5}} - 2^{0}$ ．

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22. 如图，在 $6 \times 6$ 的网格中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上.

(1)、在图1中画出 $△ A C D$ ，使 $△ A C D$ 与 $△ A C B$ 全等，顶点D在格点上.

(2)、在图2中过点B画出平分 $△ A B C$ 面积的直线l.

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23. 为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理，调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．

(1)、本次调查的样本容量是多少？

(2)、请通过计算补全条形统计图；

(3)、已知该小区有居民1800人，请估计该小区对垃圾分类知识“较少了解”的居民人数．

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24. 已知：在 $▱$ ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作 $E F ⊥ B D$ ，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．

(1)、如图1，求证：四边形DEBF是菱形；

(2)、如图2，AD $∥$ EF，且 $A D = A E$ ，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中四个度数为 $3 0^{∘}$ 的角．

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25. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．

(1)、足球和篮球的单价各是多少元？

(2)、根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15000元，学校需要最少购买多少个足球？

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26. 已知：△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，且 $A D ⊥ B C$ ．

(1)、如图1，求证： $∠ B = ∠ C$ ；

(2)、如图2，点E在 $\overset{⌢}{A C}$ 上，连接AE，CE， $∠ A C E = \frac{1}{3} ∠ A C B$ ，求证： $∠ C A E = 2 ∠ A C E$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，过点A作 $A F ⊥ C E$ 交CE的延长线于点F，若 $A E = 5$ ， $A B = 13$ ，求AF的长．

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27. 如图，经过点C（－2，－3）的抛物线 $y = a x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{5}{3}$ 交x轴于A、B两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、连接AC，点D在线段OA上，过点D作x轴的垂线交AC的延长线于点E，连接CD，设点D的横坐标为t，△CDE的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；

(3)、在（2）的条件下，点F为BD的中点，连接BC，BE，CF，若 $∠ A F C = 2 ∠ C B E$ ，求S的值．

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