广东省惠州市惠城区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-10-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若关于x的一元二次方程x²﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A、m＜﹣1 B、m＜1 C、m＞﹣1 D、m＞1

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3. 对于二次函数y=2（x﹣2）²+1，下列说法中正确的是（）

A、图象的开口向下 B、函数的最小值为1 C、图象的对称轴为直线x=﹣2 D、图象的顶点坐标是（1，2）

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4. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（）个．

A、8 B、9 C、14 D、15

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ A B C = 30 ° ， A C = 1 c m ，$ 将 $R t △ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $R t △ A B^{'} C^{'}$ ，使点 $C^{'}$ 落在 $A B$ 边上，连接 $B B^{'}$ ，则 $B B^{'}$ 的长度是（）

A、 $1 c m$ B、 $2 c m$ C、 $\sqrt{3} c m$ D、 $2 \sqrt{3} c m$

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6. 若正三角形的周长为12，则这个正三角形的边心距为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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7. 若点 $A (- 1, y_{1}), B (2, y_{2}), C (3, y_{3})$ 在反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图像上，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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8. 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（）

A、52° B、76° C、26° D、128°

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9. 定义：如果一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 满足 $a + b + c = 0$ ，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中一定正确的是（）

A、 $b = c$ B、 $a = b$ C、 $a = c$ D、 $a = b = c$

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10. 如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（2，0），其对称轴是直线x=﹣1，直线y=3恰好经过顶点．有下列判断：①当x＜﹣2时，y随x增大而减小； ②ac＜0； ③a﹣b+c＜0； ④方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=2，x₂=﹣4；⑤当m≤3时，方程ax²+bx+c=m有实数根．其中正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、②④⑤ D、②③④

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二、填空题

11. 已知点A（a，1）与点B（4，b）关于原点对称，则a-b= ．

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12. 二次函数y=（x+4）²+1的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为．

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13. 若关于x的一元二次方程为ax²+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2012﹣2a﹣2b的值．

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14. 点P（﹣1，m﹣3）在第三象限，则反比例函数y= $\frac{m - 4}{x}$ 的图象在第象限．

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15. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 $y$ 与加工时间 $x$ （单位： $\min$ ）满足函数表达式 $y = - 0.2 x^{2} + 1.5 x - 2$ ，则最佳加工时间为 $\min$ .

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16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a，a)是反比例函数y＝ $\frac{2}{x}$ 的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是．

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17. 如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD 平分∠BOC交弧BC于点D ．点E为半径OB 上一动点，若 OB=2 ，则阴影部分周长的最小值为．

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三、解答题

18. 解方程： $2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ .

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19. 有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3cm、7cm、9cm；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着5cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度．

(1)、请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；

(2)、求这三条线段能组成直角三角形的概率．

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20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， $Δ A B C$ 的顶点均在格点上．

⑴画出 $Δ A B C$ 关于原点对称的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

⑵画出 $Δ A B C$ 向上平移5个单位后的 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并求出平移过程中线段 $A C$ 扫过的面积．

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21. 某汽车销售公司2017年10月份销售一种新型低能耗汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．

(1)、求11月份和12月份的平均增长率；

(2)、该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2018年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）

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22. 如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA= $\sqrt{5}$ ， BP= $\sqrt{2}$ ， PC=1．若将 $△ P B C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转90°后，得到 $△ P^{'} B A$ ．

(1)、求 $P P^{'}$ 的长；

(2)、∠BPC度数．

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23. 如图在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图像经过点 $A (0 ， - 4)$ 、 $B (2 ， 0)$ 交反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ $(x > 0)$ 的图像于点 $C (3 ， a)$ ，点 $P$ 在反比例函数的图象上，横坐标为 $n$ $(0 < n < 3)$ ， $P Q / / y$ 轴交直线 $A B$ 于点 $Q$ ， $D$ 是 $y$ 轴上任意一点，连接 $P D$ 、 $Q D$ .

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、求 $△ D P Q$ 面积的最大值.

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24. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．

(1)、求证：MN是⊙O的切线．

(2)、设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．
①求证：FD＝FG．

②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．

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25. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点坐标为Q $(2 ， - 1)$ ，且与y轴交于点C $(0 ， 3)$ ，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD $∥$ y轴，交AC于点D．

(1)、求该抛物线的函数关系式；

(2)、当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

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