重庆市缙云教育联盟2023届高三上学期数学9月质量检测试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x ∣ x^{2} < 2} ， N = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、 ${- 2 ， 2}$

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2. 已知 $f (x) = x^{3} (e^{x} + k e^{- x})$ 为偶函数，则实数 $k =$ （）

A、1 B、-1 C、0 D、 $e$

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3. 已知函数 $f (x) = t a n x + \frac{1}{t a n x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小值为2 B、 $f (x)$ 的图像关于y轴对称 C、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{3 π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$

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4. 西安是世界四大古都之一，历史上先后有十多个王朝在西安建都．图为唐长安（西安古称）城示意图，城中南北向共有9条街道，东西向有12条街道，被称为“九衢十二条”，整齐的街道把唐长安城划分成了108坊，各坊有坊墙包围．下列说法错误的是（）

A、从延平门进城到安化门出城，最近的不同路线共有15条． B、甲乙二人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，若二人选择互不影响，则二人从同一城门进城的概率为 $\frac{1}{3}$ ． C、用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色（街道忽略），要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有60种不同的染色方法． D、若将街道看成直线，则图中矩形 $A B C D$ 区域中共有不同矩形150个．

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5. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 3 x + 1 ， x \leq 0 \\ | l o g_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (x) + b$ 有四个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，且满足： $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ .则下列结论中不正确的是（）

A、 $- 1 < b < 0$ B、 $x_{3} x_{4} = 1$ C、 $\frac{1}{2} \leq x_{3} < 1$ D、 $x_{1} + x_{2} = - \frac{3}{2}$

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6. 已知曲线 $y = a e^{x}$ 与 $y = l n x - l n a$ 的两条公切线所成角的正切值为 $\frac{3}{4}$ ，则 $a^{3} =$ （）

A、2 B、 $\frac{2}{e}$ C、 $\frac{2}{e^{3}}$ D、 $\frac{8}{e}$

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7. 已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，则该圆锥的表面积的最小值为（）

A、32π B、28π C、24π D、20π

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8. 若x， $y \in (0 ， + \infty)$ ， $x + l n x = e^{y} + s i n y$ ，则（）

A、 $l n (x - y) < 0$ B、 $l n (y - x) > 0$ C、 $x < e^{y}$ D、 $y < l n x$

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二、多选题

9. 类比三角函数的定义，把角 $α$ 的终边与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 交点的纵坐标和横坐标分别叫做 $α$ 的双曲正弦函数 $s i n h α$ 、双曲余弦函数 $c o s h α$ ．已知 $s i n h α = \frac{e^{α} - e^{- α}}{2} ， c o s h α = \frac{e^{α} + e^{- α}}{2}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $c o s h^{2} α + s i n h^{2} α = 1$ B、 $s i n h (α + β) = s i n h α c o s h β + c o s h α s i n h β$ C、 $(c o s h x)^{'} = s i n h x$ D、若直线 $y = c$ （c为常数）与曲线 $y = s i n h x ， y = c o s h x$ 共有三个交点，横坐标分别为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} > l n (1 + \sqrt{2})$

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10. 已知函数 $f (x) = x + 1$ 则（）

A、 $f (x)$ 是 $y = e^{x}$ 的切线 B、 $f (x)$ 是 $y = l n (x + 2)$ 的切线 C、 $f (x)$ 是 $y = c o s (x + 1)$ 的切线 D、 $f (x)$ 是 $y = t a n (x + 1)$ 的切线

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11. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式 $c o s 2 x = 2 c o s^{2} x - 1$ ，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（）

A、 $c o s 3 x = 4 c o s^{3} x - 3 c o s x$ B、存在 $| x | \leq 1$ 时，使得 $| 4 x^{3} - 3 x | > 1$ C、给定正整数 $n$ ，若 $| x_{i} | ≤ 1$ ， $(i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ，且 $\sum_{i = 1}^{n} {x_{i}}^{3} = 0$ ，则 $| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} | ≤ \frac{n}{3}$ D、设方程 $8 x^{3} - 6 x - 1 = 0$ 的三个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，并且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $2 ({x_{3}}^{2} - {x_{2}}^{2}) = x_{3} - x_{1}$

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12. 已知点P为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内及表面一点，若 $A P ⊥ B D$ ，则（）

A、若 $D P / /$ 平面 $A B_{1} C$ 时，则点P位于正方体的表面 B、若点P位于正方体的表面，则三棱锥 $C - A P D$ 的体积不变 C、存在点P，使得 $B P ⊥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ D、 $\vec{A P}$ ， $\vec{C D}$ 的夹角 $\in [\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$

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三、填空题

13. 设非空集合 $Q \subseteq M$ ，当 $Q$ 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称 $Q$ 是 $M$ 的偶子集，若集合 $M = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ，则其偶子集 $Q$ 的个数为.

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 1 ， x \geq a \\ | x - 3 - a | + 3 a ， x < a \end{array}$ ，若函数 $f (x)$ 存在最小值，则 $a$ 的最大值为.

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15. 写出一个与向量 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ 的夹角为75°的向量 $\vec{b} =$ .（答案不唯一，写出一个即可）

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16. 已知矩形 $O A B C$ 中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为 $(10 ， 5)$ ，点P在边 $B C$ 上，点A关于 $O P$ 的对称点为 $A^{'}$ ，若点 $A^{'}$ 到直线 $B C$ 的距离为4，则点 $A^{'}$ 的坐标可能为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 8 c o s x s i n (x + \frac{π}{6}) - 2 \sqrt{3} s i n 2 x - 3$ .

(1)、求 $f (x)$ 的周期；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的值域.

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18. 从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照 $[1.5 ， 2.5 ）$ ， $[2.5 ， 3.5 ）$ ， $[3.5 ， 4.5 ）$ ， $[4.5 ， 5.5 ）$ ， $[5.5 ， 6.5]$ 分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值；

(2)、若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列并求数学期望 $E (X)$ ；

(3)、用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在 $[1.5 ， 4.5 ）$ 的数据组成新样本组A，其方差记为 ${s_{1}}^{2}$ ，把时间段在 $[3.5 ， 6.5]$ 的数据组成新样本组B，其方差记为 ${s_{2}}^{2}$ ，原来600个样本数据的方差记为 ${s_{3}}^{2}$ ，试比较 ${s_{1}}^{2}$ ， ${s_{2}}^{2}$ ， ${s_{3}}^{2}$ 的大小（结论不要求证明）.

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19. 如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处， $| O P | = 10 k m$ ，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．

(1)、建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；

(2)、为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．

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20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 与直线 $l ： x = m y + 1$ 交于M，N两点，P为MN的中点．

(1)、若 $m < 0$ ，且N在x轴下方，求 $t a n ∠ O P N$ 的最大值；

(2)、设A，B为椭圆的左、右顶点，证明：直线AN，BM的交点D恒在一条定直线上．

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21. 如图， $O_{1}$ ， O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 为圆台的母线， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 8$ ．

(1)、证明； $C_{1} D / /$ 平面 $O B B_{1} O_{1}$ ；

(2)、若二面角 $C_{1} - B C - O$ 为 $\frac{π}{3}$ ，求 $O_{1} D$ 与平面 $A C_{1} D$ 所成角的正弦值．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + (1 - a) x - l n a \cdot l n x (a > 0)$ ．

(1)、若 $a = e$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $f (x) < 1$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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