浙江省嘉兴市2022-2023学年高三上学期数学9月基础测试试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{4}{x} > 1}$ ， $B = {x | x > 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 4}$ B、 ${x | x > 2}$ C、 ${x | 2 < x < 4}$ D、 ${x | x > 0}$

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2. 若复数 $z = \frac{3 + i}{1 - i}$ （i为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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3. 在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且 $\vec{B E} = 2 \vec{E C}$ ， $\vec{C F} = 3 \vec{F D}$ ，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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4. 从圆内接正八边形的8个顶点中任取3个顶点构成三角形，则所得的三角形是直角三角形的概率是（）

A、 $\frac{1}{14}$ B、 $\frac{3}{14}$ C、 $\frac{7}{20}$ D、 $\frac{3}{7}$

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5. 已知直线 $l ： x + 2 y - 1 = 0$ 及圆 $C ： {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ ，过直线l上任意一点P作圆C的一条切线PA，A为切点，则 $| P A |$ 的最小值是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{70}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{70}}{5}$

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6. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{12}) s i n (ω x + \frac{5 π}{12}) (0 < ω < 1)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的一个单调递增区间是（）

A、 $[- \frac{3 π}{2} ， \frac{π}{2}]$ B、 $[- π ， π]$ C、 $[- \frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ D、 $[0 ， 2 π]$

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7. 已知实数a满足 $l n (e^{2} + 1) - 1 < l n (2 a) < 1 + l n 2$ ，则（）

A、 $e^{\frac{1}{a}} > a$ B、 $e^{\frac{1}{a}} < a$ C、 $e^{a - 1} > a^{e - 1}$ D、 $e^{a - 1} < a^{e - 1}$

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8. 为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（）

A、 $\frac{2 (5 + 3 \sqrt{3}) π}{3} c m$ B、 $\frac{4 (5 + 3 \sqrt{3}) π}{3} c m^{3}$ C、 $2 (5 + 3 \sqrt{3}) π c m^{3}$ D、 $\frac{8 (5 + 3 \sqrt{3}) π}{3} c m^{3}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 在 $R$ 上单调递增， $f^{'} (x)$ 为其导函数，则下列结论正确的是（）

A、 $f^{^{'}} (1) \geq 0$ B、 $f (1) \geq 0$ C、 $a^{2} - 3 b \leq 0$ D、 $a^{2} - 3 b \geq 0$

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10. 如图，在正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为 $A B$ 、 $C D$ 的中点，则（）

A、直线 $E F$ 与 $A B$ 所成的角为 $\frac{π}{2}$ B、直线 $E F$ 与 $A D$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ C、直线 $E F$ 与平面 $B C D$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、直线 $E F$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 如图，抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，过点 $M$ ， $N$ 分别作准线 $l$ 的垂线，垂足分别为 $M_{1}$ ， $N_{1}$ ，准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $F_{1}$ ，则（）

A、直线 $F_{1} N$ 与抛物线 $C$ 必相切 B、 $∠ M F_{1} N \leq \frac{π}{2}$ C、 $| F_{1} M | \cdot | F_{1} N | = | F_{1} F | \cdot | M N |$ D、 $| F M_{1} | \cdot | F N_{1} | = | F_{1} F | \cdot | M_{1} N_{1} |$

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12. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为R，且 $f (x) + g (1 - x) = 3$ ， $g (x) + f (x - 3) = 3$ ．若 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称，则（）

A、 $f (- x) = - f (x)$ B、 $g (- x) = g (x)$ C、 $\sum_{k = 1}^{2022} f (k) = 6066$ D、 $\sum_{k = 1}^{2020} g (k) = 0$

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三、填空题

13. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x \leq 0 \\ l g (x^{2} + 1) ， x > 0 \end{array}$ 若 $f (a) \geq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. $(x + y) {(x - y)}^{6}$ 的展开式中 $x^{3} y^{4}$ 的系数是．（用数字作答）

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15. 树人中学进行篮球定点投篮测试，规则为：每人投篮三次，先在A处投一次三分球，投进得3分，未投进得0分，然后在B处投两次两分球，每投进一次得2分，未投进得0分，测试者累计得分高于3分即通过测试．甲同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每轮在A处和B处各投10次，根据统计该同学各轮三分球和两分球的投进次数如下图表：
若以五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率，则该同学通过测试的概率是．

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16. 已知点 $M (- 5 ， 0)$ ，点 $P$ 在曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1 (x > 0)$ 上运动，点 $Q$ 在曲线 ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 1$ 上运动，则 $\frac{{| P M |}^{2}}{| P Q |}$ 的最小值是．

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 3 a_{3} + 1$ ， $S_{5} = 25$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，若 $A B = 2 A_{1} B_{1} = 4$ ， $B B_{1} = 3$ ， $C C_{1} = D D_{1} = \sqrt{5}$ ．

(1)、证明：平面 $D C C_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A - C C_{1} - D$ 的余弦值．

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19. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为AB的中点，点E满足 $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ，且 $a c o s A + a c o s (B - C) = 2 \sqrt{3} b c o s (π - A) s i n C$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $B C = \sqrt{19}$ ， $D E = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20. 某市决定利用两年时间完成全国文明城市创建的准备工作，其中“礼让行人”是交警部门主扲的重点工作之一．“礼让行人”即当机动车行经人行横道时应当减速慢行，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．如表是该市某一主干路口电子监控设备抓拍的今年1-6月份机动车驾驶员不“礼让行人”行为的人数统计数据．
月份
1
2
3
4
5
6
不“礼让行人”
33
36
40
39
45
53
附：参考公式：
$b^{'} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + c) (b + d) (a + b) (c + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
独立性检验临界值表：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、请利用所给的数据求不“礼让行人”人数 $y$ 与月份 $x$ 之间的经验回归方程 $y^{'} = b^{'} x + a^{'} (1 \leq x \leq 12 ， x \in N)$ ，并预测该路口今年11月份不“礼让行人”的机动车驾驶员人数（精确到整数）；

(2)、交警部门为调查机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年的关系，从这6个月内通过该路口的机动车驾驶员中随机抽查了100人，如表所示：

不“礼让行人”
礼让行人
驾龄不超过3年
18
42
驾龄3年以上
4
36
依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否据此判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年有关?并说明理由．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ ，直线 $l_{1} ： y = x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B |$ 的最大值为 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、当 $| A B | = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ 时，斜率为 $- 2$ 的直线 $l_{2}$ 交椭圆 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点（ $P$ ， $Q$ 两点在直线 $l_{1}$ 的异侧），若四边形 $A P B Q$ 的面积为 $\frac{16 \sqrt{6}}{9}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = a x l n x$ 和 $g (x) = b (x - \sqrt{x}) (b > 0)$ 有相同的最小值．

(1)、求 $a + \frac{1}{b}$ 的最小值；

(2)、设 $h (x) = f (x) + g (x)$ ，方程 $h (x) = m$ 有两个不相等的实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $\frac{1}{2} < x_{1} + x_{2} < 2$ ．

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$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

	不“礼让行人”	礼让行人
驾龄不超过3年	18	42
驾龄3年以上	4	36

月份	1	2	3	4	5	6
不“礼让行人”	33	36	40	39	45	53