四川省成都市郫都区2022-2023学年高三上学期理数第一次阶段检测试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 3}$ ， $B = {0 ， 1 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1 ， 3}$ C、 ${0 ， 1 ， 4}$ D、 ${0 ， 3 ， 4}$

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2. 已知 $z = 2 + i$ ，则 $z (\bar{z} - i) =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- 6 + 2 i$ D、 $6 - 2 i$

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3. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为（）

A、10 B、35 C、55 D、75

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4. 函数 $f (x) = (x - 1) l n | x |$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在 $△ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $b = 1$ ，其面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $a$ 等于（）

A、4 B、 $\sqrt{23}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{21}$

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6. 执行如图所示的程序框图，则输出 $i$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x) =$ （）

A、 $2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $2 s i n (2 x + \frac{2 π}{3})$ C、 $\sqrt{6} s i n (3 x + \frac{π}{4})$ D、 $\sqrt{6} s i n (3 x + \frac{3 π}{4})$

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8. 若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有（）

A、20个 B、48个 C、52个 D、120个

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9. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， + \infty)$ 上单调递增，若 $f (2) = 0$ ，且函数 $f (x - 1)$ 为偶函数，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(2 ， + ∞)$ B、 $(- 4 ， - 1) ∪ (0 ， + \infty)$ C、 $(- 4 ， + \infty)$ D、 $(- 4 ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$

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10. 在 $(1 - 2 x) (1 - x)^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、10 B、-10 C、30 D、-30

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11. 在曲线 $y^{2} = x$ 上有两个动点 $P ， Q ， E (1 ， 0)$ ，且满足 $E P ⊥ E Q$ ，则 $\vec{E P} \cdot \vec{Q P}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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12. 若对任意 $x \in (0 ， + ∞)$ ，不等式 $e^{x - 2} + x \geq x (2 a x - l n x)$ 恒成立，则实数a的最大值为（）

A、 $\frac{1 + e}{2 e}$ B、 $\frac{3 + 2 l n 2}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 2 ， \\ x + 2 y \leq 4 \\ y \geq 0 ， \end{array} ，$ 则 $z = 2 x - y$ 的最大值是．

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14. 圆 $O_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $O_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + 4 y + m = 0$ 外切，则实数m的值为.

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15. 若 $\frac{π}{2} < θ < π$ ， $t a n θ = - 3$ ，则 $\frac{(1 + s i n 2 θ + c o s 2 θ) (s i n θ - c o s θ)}{\sqrt{2 + 2 c o s 2 θ}} =$ ．

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = A C = 2 \sqrt{3}$ ， $P A = 2$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为．

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三、解答题

17. 为切实加强新时代儿童青少年近视防控工作，经国务院同意发布了《综合防控儿童青少年近视实施方案》．为研究青少年每天使用手机的时长与近视率的关系，某机构对某校高一年级的1000名学生进行无记名调查，得到如下数据：有40%的同学每天使用手机超过1h，这些同学的近视率为40%，每天使用手机不超过1h的同学的近视率为25%．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.00l
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

(1)、从该校高一年级的学生中随机抽取1名学生，求其近视的概率；

(2)、请完成2×2列联表，通过计算判断能否有99.9%的把握认为该校学生每天使用手机的时长与近视率有关联．

每天使用超过1h
每天使用不超过1h
合计
近视
不近视
合计
1000

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{3} = 3 ， a_{5} + a_{7} = 12$ .

(1)、求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{2 S_{n}}$ ，求证：数列 ${b_{n} + 2^{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} < 2^{n + 1}$ .

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D ， E$ 分别为 $A B ， C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明：直线 $D E$ $∥$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $A B ⊥ B C ， A B = B C = B B_{1} = 2$ ，求平面 $A B_{1} C_{1}$ 与平面 $D B E$ 所成角的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为4．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若过点 $P (0 ， 1)$ 的直线交椭圆C于A，B两点，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = a x + 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线与直线 $y = g (x)$ 垂直，求 $a$ 的值；

(2)、若方程 $f (x) - g (x) = 0$ 在 $(- 2 ， 2)$ 上恰有两个不同的实数根，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若对任意 $x_{1} \in [- 2 ， 2]$ ，总存在唯一的 $x_{2} \in (- \infty ， 2)$ ，使得 $f (x_{2}) = g (x_{1})$ ，求 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t ， \\ y = - \frac{1}{4} + t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 s i n θ$ ．

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设 $P (0 ， - \frac{1}{4})$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点为 $M$ ， $N$ ，线段 $M N$ 的中点为 $Q$ ，求 $| P Q |$ ．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.00l
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	每天使用超过1h	每天使用不超过1h	合计
近视
不近视
合计			1000