上海市嘉定区2023届高三上学期数学9月统考试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、填空题

1. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦点坐标是.

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 的递推公式为 ${\begin{array}{l} a_{n} = 3 a_{n - 1} (n \geq 2) \\ a_{1} = 2 \end{array}$ ，则 $a_{4} =$ .

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3. 直线 $x + \sqrt{3} y + 12 = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 100$ 所截的弦长为.

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4. 函数 $y = l n x$ 在 $x = 2$ 处的切线方程为（写成一般式方程的形式）.

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5. 2022年世界杯亚洲区预选赛，中国和日本､澳大利亚､越南､阿曼､沙特阿拉伯分在同一小组，任意两个国家需要在各自主场进行一场比赛，则该小组共有场比赛.

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6. 某路口在最近一个月内发生重大交通事故数 $X$ 服从如下分布： $(\begin{array}{l} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0.301 & 0.362 & 0.216 & 0.087 & 0.026 & 0.006 & 0.002 \end{array})$ ，则该路口一个月内发生重大交通事故的平均数为（精确到小数点后一位）.

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7. 正整数484有个不同的正约数.

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = (20 - n) \cdot {(\frac{3}{2})}^{n}$ ，则 $a_{n}$ 取最大值时， $n =$ .

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9. 根据农业农村部的统计数据，2017年至2021年则我国农民人均可支配收入如下表所列：
年份 $x$
2017
2018
2019
2020
2021
收入 $y$ （元）
13432
14600
17371
17131
18931
由表中数据可得回归方程 $y = a x + b$ ，则 $a =$ （精确到小数点后一位）.

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10. 对半径为1的气球以恒定的速度充气，可视为球体在不断膨胀，当半径增加至2时，其体积相对于半径的瞬时变化率为.

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11. 已知 $P (A) = P (B) = P (A ∣ B) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (\bar{A} ∣ \bar{B}) =$ .

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12. 一项研究同年龄段的男､女生的注意力差别的脑功能实验，实验数据如下表：

注意力稳定
注意力不稳定
男生
29
7
女生
33
5
则 $χ^{2} =$ （精确到小数点后三位），依据 $P (χ^{2} \geq 3.841) \approx 0.05$ ，该实验该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异（填拒绝或支持）.

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二、单选题

13. 已知正项数列 ${a_{n}}$ ，令 $b_{n} = l g a_{n}$ ，则 ${b_{n}}$ 为等差数列是 ${a_{n}}$ 为等比数列的（）

A、充分条件但非必要条件 B、必要条件但非充分条件 C、充要条件 D、以上皆非

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14. 离心率和椭圆形状的有关，据此判断椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 和 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，则 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 哪个图形更为扁平（）

A、 $C_{1}$ B、 $C_{2}$ C、相同 D、无法判断

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15. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，过点 $(1 ， 4)$ 且同时和 $y$ 轴､直线 $y = k x (0 < k < 4)$ 相切的圆的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、与 $k$ 有关，因而不确定

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16. 通过抽样调研发现，当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，甲认为这是巧合，两者其实没有关系：乙认为冷饮的某种摄入成分导致了疾病；丙认为病人对冷饮会有特别需求：丁认为两者的相关关系是存在的，但不能视为因果，请判断哪位成员的意见最可能成立（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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三、解答题

17. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - n + c$ ，

(1)、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，求公差､首项､ $c$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，求数列 ${\frac{1}{S_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $H_{n}$ .

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18. 函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = x + \frac{s i n x}{e^{x}}$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的导数 $y = f^{'} (x)$ ；

(2)、若 $0 < x < 2 π$ ，求 $y = f^{'} (x)$ 的极值.

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19. 将 $(a + b)^{100}$ 的二项展开式中的二项式系数依次列为： $C_{100}^{0} ， C_{100}^{1} ， C_{100}^{2} ， ⋯ ⋯ ， C_{100}^{100}$ .

(1)、依据二顶式定理，将 $(a + b)^{100}$ 展开，并求证： $C_{100}^{0} + C_{100}^{1} + C_{100}^{12} + ⋯ ⋯ + C_{100}^{100} = 2^{100}$ ；

(2)、研究所列二项式系数的单调性，并求证：其最大值为 $C_{100}^{50}$ .

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20. 一台机器设备由 $A$ 和 $B$ 两个要件组成，在设备运转过程中， $A ､ B$ 发生故障的概率分别记作 $P (A) ､ P (B)$ ，假设 $A$ 和 $B$ 相互独立.设 $X$ 表示一次运转过程中需要维修的要件的数目，若 $P (A) = 0.1 ， P (B) = 0.2$ .

(1)、求出 $P (X = 0) ， P (X = 1) ， P (X = 2)$ ；

(2)、依据随机变量 $X$ 的分布，求 $E (X)$ 和 $D (X)$ ；

(3)、若 $X_{1}$ 表示 $A$ 需要维修的数目， $X_{2}$ 表示 $B$ 需要维修的数目，写出 $X ､ X_{1}$ 和 $X_{2}$ 的关系式，并依据期望的线性性质和方差的性质，求 $E (X)$ 和 $D (X)$ .

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21. 椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，过椭圆 $Γ$ 外一点 $P (s ， t)$ 作椭圆 $Γ$ 的两条切线 $l_{1} ､ l_{2}$ ，切点分别为 $A ､ B ， \vec{P A}$ 和 $\vec{P B}$ 的夹角为 $θ$ .

(1)、若 $t = 0 ， θ = \frac{π}{2}$ ，求此时 $s$ 的值；

(2)、若 $t = 0 ， s > \sqrt{6}$ ，求证： $θ$ 随 $s$ 的增大而减小；

(3)、是否存在圆 $C ： x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，使得 $P$ 在其上做圆周运动时，始终可以保持 $θ = \frac{π}{2}$ ？不论存在与否，均请说明理由.

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年份 $x$	2017	2018	2019	2020	2021
收入 $y$ （元）	13432	14600	17371	17131	18931

	注意力稳定	注意力不稳定
男生	29	7
女生	33	5