陕西省安康市2022-2023学年高三上学期理数9月联考试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤2}， $B = {y | y = 2^{x} ， x \in A}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{1} B、 $[\frac{1}{2} ， 2]$ C、 $[- 1 ， 2)$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 设i为虚数单位，若复数z满足 $z (1 + i) = 2$ ，则 $| | z | - i | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 在 $△ A B C$ 中，D，E分别是线段AB，BC上的点，且 $A D = 3 D B$ ， $B E = \frac{2}{3} B C$ ，若 $\vec{D E} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. 下列函数中，既是偶函数且在 $(0 ， + \infty)$ 上又是减函数的是（）
① $y = c o s 2022 x$ ；② $y = | x + 1 |$ ；③ $y = x^{- 2}$ ；④ $y = x - \frac{2}{x}$ ．

A、①④ B、②③ C、③ D、②

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5. 若 $\frac{3 s i n a + 2 c o s a}{2 s i n a - c o s a} = \frac{8}{3}$ ，则 $t a n (a + \frac{3 π}{4}) =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、 $- \frac{1}{3}$

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6. 已知 $p ： \forall x \in [1 ， 2]$ ， $x^{2} - a \geq 0$ ， $q ： \exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 a x_{0} + 2 - a = 0$ ，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq - 2$ B、 $a \leq 1$ C、 $a \leq - 2$ 或 $a = 1$ D、 $a > - 2$ 且 $a \neq 1$

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7. 在 $△ A B C$ 中，“ $t a n A t a n B = 1$ ”是“ $s i n^{2} A + s i n^{2} B = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《算书九章 $\cdot$ 大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余1且被6除余3的数，按由小到大的顺序排成一列数 ${a_{n}}$ ，记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、495 B、522 C、630 D、730

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n x + \sqrt{3} c o s^{2} \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．则关于 $f (x)$ 说法错误的是（）

A、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度后所得的函数为 $y = - c o s x$ B、 $f (x)$ 的图象与 $g (x) = s i n (x + \frac{2 π}{3})$ 的图象关于y轴对称 C、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{7 π}{6}] (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 在 $[0 ， a]$ 上有3个零点，则实数a的取值范围是 $[\frac{8 π}{3} ， \frac{11 π}{3}]$

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点P为该椭圆上一点，且满足 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，若 $△ F_{1} P F_{2}$ 的内切圆的面积为 $π$ ，则该椭圆的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{18} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{32} + \frac{y^{2}}{24} = 1$

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11. 下列函数中，最大值是1的函数是（）

A、 $y = | s i n x | + | c o s x |$ B、 $y = c o s^{2} x + 4 s i n x - 4$ C、 $y = c o s x \cdot t a n x$ D、 $y = \frac{s i n x}{\sqrt{2} - c o s x}$

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12. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + 4 x$ ，对任意的实数 $x_{1} ， x_{2} \in (- \infty ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，不等式 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > x_{1} + x_{2}$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $[\frac{2}{e} ， + \infty)$ B、 $[\frac{2}{e^{3}} ， + \infty)$ C、 $(\frac{2}{e} ， + \infty)$ D、 $(\frac{2}{e^{3}} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 若角 $α$ 的终边在第四象限，且 $c o s α = \frac{4}{5}$ ，则 $t a n (π - a) =$ ．

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14. 已知曲线 $y = l n x + 2$ 的一条切线是 $y = k x + 1$ ，则实数 $k =$ ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 10$ .点D是线段BC上的一点，且 $∠ A D B = 45 °$ ，则CD长为.

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16. 对于定义域为D的函数 $f (x)$ ，若存在 $x_{1} ， x_{2} \in D$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ．使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{1} + x_{2}) - \frac{1}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质M，若函数 $f (x) = | l o g_{2} x - 1 | ， x \in (0 ， \sqrt{a}]$ 具有性质M．则实数a的最小值为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， $c s i n \frac{A + C}{2} = b s i n C$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $\frac{1}{t a n A} + \frac{1}{t a n C} = \frac{2}{t a n B}$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 ${c_{n}}$ 是等差数列，且 $c_{1} = a_{1}$ ， $c_{2} = S_{2}$ .设 $b_{n} = a_{n} \cdot c_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C ⊥$ 平面PAB， $A C = 2$ ， $A B = 1$ ， $B P = \sqrt{3}$ ， $P A = 2$ .

(1)、求证： $P B ⊥ B C$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - A$ 的余弦值.

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20. 国庆节期间，某大型服装团购会举办了一次“你消费我促销”活动，顾客消费满300元（含300元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）.
方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个，黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元.
方案二：从装有10个形状，大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，不放回地摸出3个球，中多规则为：若摸出2个红球，1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余情况不打折.

(1)、某顾客恰好消费300元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望；

(2)、若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理?

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21. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{2} a x^{2} + (a + 1) x$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) \leq x e^{x} + \frac{1}{2} a x^{2} - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{1}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} + 8 ρ^{2} s i n^{2} θ - 9 = 0$ ．

(1)、求 $l$ 的极坐标方程和 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| O A | + | O B |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 4 | + | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 4$ 的解集；

(2)、设 $g (x) = f (x) - | x - 2 |$ ，若 $g (x)$ 的最小值为m，实数a，b，c均为正，且 $a + b + c = m$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ 的最小值.

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