山西省长治市2023届高三上学期数学9月质量检测试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 9 ， x \in R}$ ， $B = {x | \sqrt{x - 1} \leq 2 ， x \in Z}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $[1 ， 3]$ C、 $(1 ， 3]$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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3. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，用平行于 $A_{1} B_{1}$ 的截面将正方体截成两部分，则所截得的两个几何体不可能是（）

A、两个三棱柱 B、两个四棱台 C、两个四棱柱 D、一个三棱柱和一个五棱柱

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4. 抛物线 $y = 4 x^{2}$ 上的一点 $M$ 到焦点的距离为1，则点 $M$ 的纵坐标为（）

A、 $\frac{17}{16}$ B、 $\frac{15}{16}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、0

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5. 若随机变量 $ξ$ 从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ．现有40000人参加语文考试，成绩大致服从正态分布 $N (100 ， 8^{2})$ ，则可估计本次语文成绩在116分以上的学生人数为（）

A、3640 B、1820 C、910 D、455

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6. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ），将函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的部分图像如图所示，则函数 $f (x)$ 的单调增区间为（）

A、 $[\frac{π}{12} + k π ， \frac{7 π}{12} + k π]$ （ $k \in Z$ ） B、 $[\frac{7 π}{12} + k π ， \frac{13 π}{12} + k π]$ （ $k \in Z$ ） C、 $[k π ， \frac{π}{2} + k π]$ （ $k \in Z$ ） D、 $[- \frac{π}{12} + k π ， \frac{5 π}{12} + k π]$ （ $k \in Z$ ）

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7. 已知 $a = e^{0.2}$ ， $b = \frac{l n 1.4}{2} + 1$ ， $c = \sqrt{1.4}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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8. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = f (x)$ ，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 1 ， 0 \leq x < 1 \\ 2 - 2^{x} ， x \geq 1 \end{array}$ ，若对任意的 $x \in [m - 1 ， m]$ ，不等式 $f (2 - x) \leq f (x + m)$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值是（）

A、-1 B、-2 C、 $\frac{2}{3}$ D、2

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9. 给出下列四个命题：
①“若 $x_{0}$ 为 $y = f (x)$ 的极值点，则 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ”的逆命题为真命题；②“平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角是钝角”的充分不必要条件是 $\vec{a} • \vec{b} < 0$ ③若命题 $p ： \frac{1}{x - 1} > 0$ ，则 $\neg p ： \frac{1}{x - 1} \leq 0$ ；④命题“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”的否定是：“ $\forall x \in R$ 均有 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ”.
其中不正确的个数是

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

10. 以石墨烯电池、量子计算、AI等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大，我国某公司为了抢抓机遇，成立了A、B、C三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知A、B、C三个小组攻克该技术难题的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ，且三个小组各自独立进行科研攻关．下列说法正确的（）

A、三个小组都受到奖励的概率是 $\frac{1}{6}$ B、只有A小组受到奖励的概率是 $\frac{1}{2}$ C、只有C小组受到奖励的概率是 $\frac{2}{11}$ D、受到奖励的小组数的期望值是 $\frac{5}{3}$

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11. 已知函数 $y = x^{2} + a x + b$ （ $a > 0$ ）有且只有一个零点，则（）

A、 $a^{2} - b^{2} \leq 4$ B、 $a^{2} + \frac{1}{b} \geq 4$ C、若不等式 $x^{2} + a x - b < 0$ 的解集为 $(x_{1} ， x_{2})$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$ D、若不等式 $x^{2} + a x + b < c$ 的解集为 $(x_{1} ， x_{2})$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | = 4$ ，则 $c = 4$

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12. 对于函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} + c x + d$ ， $c ， d \in R$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1 - c + 2 d}{2})$ 中心对称 B、函数 $f (x)$ 有极值的充要条件是 $c < \frac{3}{2}$ C、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} > \frac{1}{8}$ D、若 $c = d = - 12$ ，则过点 $(3 ， 0)$ 做曲线 $y = f (x)$ 的切线有且仅有2条

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三、填空题

13. $(x^{2} - 3) {(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为．

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14. 已知实数 $x$ ， $y$ ，满足 $x^{2} - y^{2} = 1$ ，则 $\frac{1}{x^{2}} + 2 | \frac{y}{x} |$ 的取值范围是．

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15. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - l n x ， 0 < x \leq 1 \\ - 1 + l n x ， x > 1 \end{array}$ ，若 $f (a) = f (b)$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为．

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16. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，矩形内一点 $M$ （含边界），满足 $\vec{A M} \cdot \vec{A B} = {\vec{A M}}^{2}$ ，若 $\vec{B M} = λ \vec{B C} + μ \vec{B A}$ ，当 $3 λ + 2 μ$ 取得最大值时， $\vec{M B} \cdot \vec{A C} =$ ．

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四、解答题

17. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角A， $B$ ， C所对的边， $0 < A < \frac{π}{2}$ ， $\sqrt{3} c = \sqrt{3} a s i n C + c c o s A$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $b$ ， $c$ ．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $4 S_{n} = (a_{n} - 3) (a_{n} + 5)$ （ $n \in N^{*}$ ），且 $a_{n} > 0$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{1}{b_{n + 1}} - \frac{1}{b_{n}} = a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），且 $b_{1} = \frac{1}{3}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 在矩形 $A B C D$ 中（图1）， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $E$ 为 $C D$ 边上的中点，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，使得平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ ，连接 $D B$ ， $D C$ 形成四棱锥 $D - A B C E$ ．

(1)、求证： $B E ⊥ A D$ ．

(2)、求平面 $B C D$ 与平面 $A E D$ 夹角的余弦值．

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20. 已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．

(1)、如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率．

(2)、假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为 $\frac{1}{2}$ ，选择两个选项的概率为 $\frac{1}{3}$ ，选择三个选项的概率为 $\frac{1}{6}$ ．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记 $X$ 表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求：
（i） $P (X = 0)$ ；
（ii） $X$ 的分布列及数学期望．

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21. 已知点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上，且点 $P$ 到椭圆右顶点 $M$ 的距离为 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若点 $A$ ， $B$ 是椭圆 $C$ 上不同的两点（均异于 $M$ ）且满足直线 $M A$ 与 $M B$ 斜率之积为 $\frac{1}{4}$ ．试判断直线 $A B$ 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．

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22. 设函数 $f (x) = 2 a x^{2} - 2 a - l n x$ ， $g (x) = \frac{1}{x} - \frac{e}{e^{x}}$ ，其中 $a \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $x > 1$ 时， $g (x) > 0$ ；

(3)、若不等式 $f (x) > g (x)$ 在 $x \in (1 ， + \infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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