山西省忻州市2023届高三上学期数学第二次联考试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 2 - x > 3} ， B = {x ∣ x^{2} - 9 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ - 3 < x < 1}$ B、 ${x ∣ - 3 < x < - 1}$ C、 ${x ∣ - 1 < x < 3}$ D、 ${x ∣ 1 < x < 3}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 1 + 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $- \frac{1}{5} + i$ C、 $\frac{5}{3} + \frac{5}{3} i$ D、 $- \frac{1}{3} + \frac{5}{3} i$

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3. 青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度 $y$ 与时间 $x$ 的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. “ $m > 0$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $t a n (α + \frac{π}{4}) = 3$ ，则 $\frac{s i n (α + π) + c o s (π - α)}{c o s (α - \frac{π}{2}) + s i n (\frac{3 π}{2} - α)} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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6. 已知 $0 < a < 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{9}{2 - a}$ 的最小值是（）

A、4 B、6 C、8 D、16

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7. 在某次数学考试中，学生成绩 $X$ 服从正态分布 $(100 ， δ^{2})$ .若 $X$ 在 $(85 ， 115)$ 内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（）

A、 $\frac{27}{64}$ B、 $\frac{9}{64}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{9}{16}$

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8. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图， $A B$ 是圆 $O$ 的一条直径，且 $| A B | = 4 . C ， D$ 是圆 $O$ 上的任意两点， $| C D | = 2$ ，点 $P$ 在线段 $C D$ 上，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{3} ， 2]$ B、 $[- 1 ， 0]$ C、 $[3 ， 4]$ D、 $[1 ， 2]$

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9. 《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C ， A B = B C = 2 P A = 4$ ，则鳖臑 $P - A B C$ 外接球的表面积是（）

A、36π B、72π C、144π D、288π

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， 0 ⩽ x ⩽ 1 ， \\ l n (- x) ， x < 0 ， \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $[f (x)]^{2} - a f (x) + 2 = 0$ 有4个不同的实根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， 4]$ B、 $(2 \sqrt{2} ， 4]$ C、 $[2 ， 3]$ D、 $(2 \sqrt{2} ， 3]$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) + \sqrt{3} s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调，且当 $x_{1} - x_{2} = \frac{π}{2}$ 时， $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \geq 4$ ，则 $ω =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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12. 已知 $a = 5 - 8 l n 2 ， b = 4 - 4 l n 3 ， c = e^{\frac{5}{4}} - 4$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 2) ， \vec{b} = (1 ， 1)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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14. 已知圆 $C$ 的圆心 $C$ 在直线 $y = x$ 上，且与直线 $y = 2 x + 1$ 相切，则圆 $C$ 的方程是.（写出一个即可）

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15. 设等差数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别是 $S_{n} ， T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n + 2}{7 n - 5}$ ，则 $\frac{a_{3} + a_{9}}{b_{6}} =$ .

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $b^{2} t a n A = a^{2} t a n B$ ，点 $D$ 是线段 $B C$ 的中点，若 $A D = 5$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $a s i n B c o s A + \sqrt{3} b (c o s^{2} A - 1) = 0$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $\sqrt{3} b - c$ 的最大值.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $P A = P C$ .

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(2)、若 $∠ A B C = 6 0^{∘} ， P B = P D = A B ， E$ 是棱 $P D$ 的中点，求平面 $P A B$ 与平面 $A C E$ 夹角的余弦值.

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - 2 f (x - \frac{π}{6})$ ，对任意的 $x \in [- \frac{π}{12} ， \frac{π}{2}] ， g (x) - a ⩾ 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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20. 据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为 $T_{0}$ ，那么经过 $t$ 分钟后，温度 $T$ 满足 $T - T_{a} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}} (T_{0} - T_{a})$ ，其中 $T_{a}$ 为室温， $h$ 为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯 $7 5^{∘} C$ 的茶水放在 $2 5^{∘} C$ 的房间，10分钟后茶水降温至 $5 0^{∘} C$ .（参考数据： $l g 2 \approx 0.30 ， l g 3 \approx 0.48$ ）

(1)、若欲将这杯茶水继续降温至 $3 5^{∘} C$ ，大约还需要多少分钟？（保留整数）

(2)、为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产 $x$ 千台空调，需另投入成本 $f (x)$ 万元，且 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 x^{2} + 60 x ， 0 < x < 40 ， \\ 301 x + \frac{3600}{x} - 3700 ， x ⩾ 40 . \end{array}$ 已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率是 $\sqrt{5}$ ，点 $F$ 是双曲线 $C$ 的一个焦点，且点 $F$ 到双曲线 $C$ 的一条渐近线的距离是2.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程.

(2)、设点 $M$ 在直线 $x = \frac{1}{4}$ 上，过点 $M$ 作两条直线 $l_{1} ， l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 与双曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，直线 $l_{2}$ 与双曲线 $C$ 交于 $D ， E$ 两点.若直线 $A B$ 与直线 $D E$ 的倾斜角互补，证明： $\frac{| M A |}{| M D |} = \frac{| M E |}{| M B |}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - l n x$ .

(1)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 1 + l n a$ 恰有一个解，求a的取值范围.

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