江西省“红色十校”2023届高三上学期理数第一联考试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {\frac{1}{2} ， 1 ， 2 ， 3} ， B = {x | (x - 1) (x - 2) > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{3} B、 ${\frac{1}{2} ， 3}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${2 ， 3}$

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2. 若复数z满足 $z (2 - i) = 5 i$ ，则z的虚部为（）

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、-2 D、2

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3. 下图是国家统计局7月发布的2021年6月至2022年6月规模以上工业原煤产量增速的月度走势，其中2022年1~2月看作1个月，现有如下说法：
①2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势；②2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为5.9；③从这12个增速中随机抽取2个，增速都超过10的概率为 $\frac{5}{33}$ ．则说法正确的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 0.25}{s i n x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 2022年11月，第五届中国国际进口博览会在上海举行，组委员会安排5名工作人员去A，B等4个场馆，其中A场馆安排2人，其余比赛场馆各1人，则不同的安排方法种数为（）

A、48 B、60 C、120 D、240

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6. 设函数 $f (x) = \frac{a - x}{a + x} (a \neq 0)$ ，若 $g (x) = f (x - 1) + 1$ 是奇函数，则 $f (2022) =$ （）

A、 $- \frac{2022}{2021}$ B、 $- \frac{2021}{2023}$ C、 $\frac{2022}{2021}$ D、 $\frac{2021}{2023}$

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7. 设 $a = \frac{2}{\sqrt[3]{3}} ， b = 0 . 8^{0.3} ， c = l o g_{0.9} 0.8$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > c > b$ C、 $a > b > c$ D、 $c > b > a$

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8. 将函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - π < φ < 0)$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到如图所示的函数 $y = g (x)$ 的图象，则 $f (0) + f (\frac{π}{3}) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、-1

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9. “寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A，B两地竖起高度均为a寸的标杆 $A E$ 与 $B F$ ， $A C$ 与 $B D$ 分别为标杆 $A E$ 与 $B F$ 在地面的影长，再按影长 $A C$ 与 $B D$ 的差结合“寸影千里”来推算A，B两地的距离．记 $∠ C E A = α ， ∠ B D F = β (β < \frac{π}{2} - α)$ ，则按照“寸影千里”的原则，A，B两地的距离大约为（）

A、 $\frac{1000 a s i n (α + β)}{s i n α s i n β}$ 里 B、 $\frac{1000 a s i n (α + β)}{s i n α c o s β}$ 里 C、 $\frac{1000 a c o s (α + β)}{s i n β c o s α}$ 里 D、 $\frac{1000 a c o s (α + β)}{c o s α c o s β}$ 里

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10. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，满足 $x^{2} + 2 x y - 1 = 0$ ，则 $3 x + 2 y$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{2}$

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11. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的顶点都在球O的球面上， $A B = B C = 2 ， ∠ A B C = 120 °$ ，若三棱锥 $P - A B C$ 的体积最大值为2，则球O的半径为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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12. 若曲线 $y = e^{x - 1}$ 与曲线 $y = a \sqrt{x}$ 在公共点处有公共切线，则实数 $a =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2 e}}{e}$ B、 $\frac{\sqrt{e}}{e}$ C、 $\frac{2}{e}$ D、 $\frac{1}{e}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{m} = (a ， a + 2) ， \vec{n} = (a - 2 ， 4)$ ，且 $\vec{n} ⊥ (\vec{m} - \vec{n})$ ，则实数 $a =$ ．

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14. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点F到直线 $l ： 2 x - y - 3 = 0$ 的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则p的值为．

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15. 韩信是我国汉代能征善战、智勇双全的一员大将．历史上流传着一个关于他点兵的奇特方法．有一天，韩信问有多少士兵在操练，部将回答：三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩四，韩信很快就知道了士兵的人数．设有m个士兵，若 $m \in [2021 ， 3021]$ ，符合条件的m共有个．

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16. 已知 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2}) ， s i n α + 3 s i n (α - 2 β) = 0$ ，则 $\frac{t a n (α - β)}{t a n β} =$ ， $t a n (α - 2 β)$ 的最小值是．

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三、解答题

17. 在① $a_{2} = 5 ， S_{n + 1} + S_{n - 1} = 2 S_{n} + 4 (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ， ② $\frac{S_{n + 1}}{n + 1} = \frac{S_{n}}{n} + 2$ ， ③ $(4 n + 1) a_{n} = (4 n - 3) a_{n + 1}$ 这三个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答问题．
已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且____．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n}$ 是 $a_{n} ， a_{n + 1}$ 的等比中项，求数列 ${\frac{1}{b_{n}^{2}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面四边形 $A B C D$ 是正方形， $P A = A D$ ，点E为 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求平面 $B D E$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的大小．

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a c o s A = b s i n B + c s i n C - 2 c s i n B c o s A$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = \sqrt{2} ， s i n B = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，求b和c．

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20. 设O为坐标原点，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，且过点 $(0 ， 1)$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、若直线 $l ： x = k y + m$ 与C交于P，Q两点，且 $△ O P Q$ 的面积是 $\frac{3}{2}$ ，求证： $2 m^{2} - k^{2} = 9$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - l n x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a (x - 1) ， a \in R$ ，求 $g (x)$ 的极小值的最大值．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{13} c o s α ， \\ y = 5 + \sqrt{13} s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $θ = β (ρ \in R ， β \in [0 ， \frac{π}{2}) ∪ (\frac{π}{2} ， π))$ ．

(1)、求C的极坐标方程和l的直角坐标方程；

(2)、l与C交于A，B两点，若 $| A B | = \sqrt{2}$ ，求 $β$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + m | + | x - 1 |$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求不等式 $f (x) \geq 5$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) \geq a \sqrt{4 - a^{2}}$ 对 $x \in R$ 和 $a \in (- 2 ， 2)$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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