江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期数学9月诊断测试试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 集合 $A = {n | n^{3} ＜ 2022 ＜ 3^{n} ， n \in Z}$ 的所有元素之积为（）.

A、665280 B、55440 C、95040 D、0

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2. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{z - 3 i}{z + i}$ 为负实数， $\frac{z - 3}{z + 1}$ 为纯虚数，则 $\bar{z} =$ （）.

A、 $\sqrt{3} i$ B、 $1 - \sqrt{3} i$ C、 $- \sqrt{3} i$ D、 $1 + \sqrt{3} i$

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3. 抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，设 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上的两个动点， $x_{1} + x_{2} + 4 = \frac{2 \sqrt{3}}{3} | A B |$ ，则 $∠ A F B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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4. “人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状，如图所示：古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为

{a_{n}}

，其中

1 ≤ n ≤ 15

且

n \in N^{*}

，将满月分成240部分，从新月开始，每天的月相数据如下表所示(部分数据)，

a_{1} = 5

是指每月的第1天可见部分占满月的

\frac{5}{240}

，

a_{8} = 128

是指每月的第8天可见部分占满月的

\frac{128}{240}

，

a_{15} = 240

是指每月的第15天(即农历十五)会出现满月．已知在月相数列

{a_{n}}

中，前5项构成等比数列，第5项到第15项构成等差数列，则第3天可见部分占满月的（）

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
5	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$	$a_{5}$	$a_{6}$	$a_{7}$	128	$a_{9}$	$a_{10}$	$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{13}$	$a_{14}$	240

A、

\frac{1}{24}

B、

\frac{1}{12}

C、

\frac{1}{6}

D、

\frac{1}{3}

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5. 在平面直角坐标系中，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， $P$ 为 $E$ 上的动点， $A ， B$ 为两个定点，其中 $B$ 点坐标为 $(0 ， 3)$ .若 $△ P A B$ 的面积最小值为1，最大值为5，则线段 $A B$ 的长为（）.

A、5 B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $6$ D、 $\sqrt{7}$

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6. 已知函数 $y = f (x)$ 的图像既关于点 $(1 ， 1)$ 中心对称，又关于直线 $x + y = 0$ 轴对称.当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) = l o g_{2} (x + 1)$ ，则 $f (l o g_{2} 10)$ 的值为（）.

A、 $l o g_{2} 6$ B、 $\frac{17}{5}$ C、3 D、 $\frac{14}{5}$

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7. 通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用 $2 s i n 18 °$ 表示，即 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 2 s i n 18 °$ .记 $m = 2 s i n 18 °$ ，则 $\frac{\sqrt{1 + c o s 36 °}}{(m^{2} - 2) \cdot s i n 144 °} =$ （）

A、 $- \sqrt{2}$ B、-2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5} - 1$

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8. 若x， $y \in (0 ， + \infty)$ ， $x + l n x = e^{y} + s i n y$ ，则（）

A、 $l n (x - y) < 0$ B、 $l n (y - x) > 0$ C、 $x < e^{y}$ D、 $y < l n x$

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二、多选题

9. 下列关于复数的命题中( $i$ 为虚数单位)，说法正确的是（）.

A、若关于x的方程 $(1 + i) x^{2} + a x + 1 - 4 i = 0 (a \in R)$ 有实根，则 $a = \pm \frac{5}{2}$ B、复数z满足 $(1 + i) z = 1$ ，则z在复平面对应的点位于第二象限 C、 $1 + 2 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，其中p、q为实数，则 $q = 5$ D、已知 $z_{1} = a + b i$ ， $z_{2} = c + d i$ ，且 $z_{1} = z_{2}$ ，则 $a = c ， b = d$

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10. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，抛物线C上存在n个点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $⋯$ ， $P_{n}$ （ $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ）满足 $∠ P_{1} F P_{2} = ∠ P_{2} F P_{3} = ⋯ = ∠ P_{n - 1} F P_{n} = ∠ P_{n} F P_{1} = \frac{2 π}{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $n = 2$ 时， $\frac{1}{| P_{1} F |} + \frac{1}{| P_{2} F |} = 2$ B、 $n = 3$ 时， $| P_{1} F | + | P_{2} F | + | P_{3} F |$ 的最小值为9 C、 $n = 4$ 时， $\frac{1}{| P_{1} F | + | P_{3} F |} + \frac{1}{| P_{2} F | + | P_{4} F |} = \frac{1}{4}$ D、 $n = 4$ 时， $| P_{1} F | + | P_{2} F | + | P_{3} F | + | P_{4} F |$ 的最小值为8

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11. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点， $M_{n} ， N_{n}$ 是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = n^{2}$ 上两个不同的动点， $P_{n}$ 是 $M_{n} N_{n}$ 的中点，且满足 $\vec{O M_{n}} \cdot \vec{O N_{n}} + 2 {\vec{O P_{n}}}^{2} = 0 (n \in N^{*})$ ．设 $M_{n} ， N_{n}$ 到直线 $l ： \sqrt{3} x + y + n^{2} + n = 0$ 的距离之和的最大值为 $a_{n}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、向量 ${\vec{O M}}_{n}$ 与向量 ${\vec{O N}}_{n}$ 所成角为 $120 °$ B、 $| \vec{O P_{n}} | = n$ C、 $a_{n} = n^{2} + 2 n$ D、若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n + 2}$ ，则数列 ${\frac{2^{b_{n}}}{(2^{b_{n}} - 1) (2^{b_{n} + 1} - 1)}}$ 的前n项和为 $1 - \frac{1}{2^{n + 1} - 1}$

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12. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，点 $A$ 在椭圆上，直线 $l ： b x + a y - a^{2} - b^{2} = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 与蒙日圆相切 B、 $C$ 的蒙日圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 2 a^{2}$ C、记点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，则 $d - | A F_{2} |$ 的最小值为 $\frac{(4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{2}) b}{3}$ D、若矩形 $M N G H$ 的四条边均与 $C$ 相切，则矩形 $M N G H$ 的面积的最大值为 $8 b^{2}$

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三、填空题

13. 已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，则 $\frac{1}{2 x} + \frac{x}{y + 1}$ 的最小值为．

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (1 ， 2)$ ，直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 5$ 交于A，B两点，若 $△ P A B$ 为正三角形，则实数 $m$ 的值是.

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15. 已知 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点，则 $\sqrt{5} x_{0} + | 2 x_{0} - y_{0} + 10 |$ 的最小值为.

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16. 函数 $f (x) = \frac{- 1 - 2 s i n x}{- 3 - \sqrt{5} c o s x} (x \in R)$ 的值域为.

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四、解答题

17. 若 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 满足 $s i n A = c o s B = t a n C$ ，求 $c o s^{3} A + c o s^{2} A - c o s A$ 的值.

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18. 正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和Sn满足： $S_{n}^{2} - (n^{2} + n - 1) S_{n} - (n^{2} + n) = 0$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = \frac{n + 1}{{(n + 2)}^{2} a_{n}^{2}}$ ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ $\frac{5}{64}$ .

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19. 郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合.双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似.双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线､反射式天文望远镜利用了其光学性质等等.

(1)、已知 $A$ ， $B$ 是在直线 $l$ 两侧且到直线 $l$ 距离不相等的两点， $P$ 为直线 $l$ 上一点.试探究当点 $P$ 的位置满足什么条件时， $| P A - P B |$ 取最大值；

(2)、若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称.证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.

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20. 已知等差数列{an}满足：S₆=21，S7=28，其中 $s_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项；

(2)、令bn= ${(- 1)}^{n - 1} \frac{4 n}{(2 a_{n} - 1) (2 a_{n} + 1)}$ ，证明： $b_{1} + b_{2} + ⋯ b_{n} \leq \frac{2 n + 2}{2 n + 1}$ .

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21. 已知点 $B 、 A$ 分别是椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右顶点，过 $Γ$ 的右焦点 $F$ 作直线 $l$ 交 $Γ$ 于 $M ， N$ 两点，

(1)、设直线 $A M ， A N ， B M$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2} ， k_{3}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 和 $\frac{k_{2}}{k_{3}}$ 的值；

(2)、若直线 $A M ， A N$ 分别交椭圆 $Γ$ 的右准线于 $P ， Q$ 两点，证明：以 $P Q$ 为直径的圆经过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}} ， g (x) = \frac{l n x}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的极值；

(2)、证明：存在直线 $y = a$ ，其与曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

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