湖湘名校教育联合体2022-2023学年高三上学期数学9月大联考试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | \frac{x + 1}{x - 2} \leq 0}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 4 x + 3 \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ B、 ${x | 1 \leq x \leq 3}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$

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2. 已知复数z满足 $z = (a^{2} - 9) + (a + 3) i (a ， b \in R)$ ，则“ $a = 3$ ”是“z为纯虚数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不充要条件

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3. 已知四边形 $A B C D$ ，设E为 $C D$ 的中点， $\vec{A C} \cdot \vec{A D} = 10 ， | \vec{A E} | = 4$ ，则 $| \vec{C D} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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4. 若复数z= $\frac{a + i}{1 - 2 i}$ （a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（）

A、2 B、2 $\sqrt{2}$ C、4 D、8

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5. “人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状，如图所示：古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为

{a_{n}}

，其中

1 ≤ n ≤ 15

且

n \in N^{*}

，将满月分成240部分，从新月开始，每天的月相数据如下表所示(部分数据)，

a_{1} = 5

是指每月的第1天可见部分占满月的

\frac{5}{240}

，

a_{8} = 128

是指每月的第8天可见部分占满月的

\frac{128}{240}

，

a_{15} = 240

是指每月的第15天(即农历十五)会出现满月．已知在月相数列

{a_{n}}

中，前5项构成等比数列，第5项到第15项构成等差数列，则第3天可见部分占满月的（）

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
5	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$	$a_{5}$	$a_{6}$	$a_{7}$	128	$a_{9}$	$a_{10}$	$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{13}$	$a_{14}$	240

A、

\frac{1}{24}

B、

\frac{1}{12}

C、

\frac{1}{6}

D、

\frac{1}{3}

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6. 设 $a = l n 15 - l n 14 ， b = \frac{15}{196} ， c = t a n (\frac{15}{196})$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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7. 设 $m$ 为正整数， $(x + y)^{2 m}$ 的展开式中二项式系数的最大值为 $a$ ， $(x + y)^{2 m + 1}$ 的展开式中的二项式系数的最大值为 $b$ .若 $15 a = 8 b$ ，则 $m$ 的值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 已知函数 $f (x) = A c o s ω x - \sqrt{3} s i n ω x (ω > 0)$ 的部分图象如图， $y = f (x)$ 的对称轴方程为 $x = \frac{5 π}{6} + \frac{k π}{4}$ ， k为正整数，则将函数 $f (x)$ 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ ，则 $g (0) =$ （）

A、2 B、-2 C、 $- \frac{3}{2}$ D、-1

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二、多选题

9. 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， (x_{3} ， y_{3}) ， ⋯ ， (x_{10} ， y_{10})$ ，则下列结论正确的是（）

A、若求得的经验回归方程为 $y = 0.4 x + 1$ ，则变量y和x之间具有正的线性相关关系 B、若其经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过点 $(3 ， 2.25)$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + ⋯ + x_{10} = y_{1} + y_{2} + y_{3} + ⋯ y_{10} + 6.5$ C、若根据这组数据得到样本相关系数 $| r | \approx 0.96$ ，则说明样本数据的线性相关程度较强 D、若用相关指数 $R^{2}$ 来刻画回归效果，回归模型1的相关指数 $R_{1}^{2} = 0.32$ ，回归模型2的相关指数 $R_{2}^{2} = 0.68$ ，则模型1的拟合效果更好

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10. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中（）

A、 $A C$ 与 $B D_{1}$ 的夹角为 $60 °$ B、二面角 $D_{1} - A C - B_{1}$ ，的正弦值为 $\frac{1}{3}$ C、 $A B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正切值为 $\sqrt{2}$ D、点 $B_{1}$ 到平面 $A C D_{1}$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线l与抛物线C交于A，B两点，且 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ， O为坐标原点，且 $O A ⊥ O B$ ，若直线l恒过点 $(4 ， 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、抛物线方程为 $y^{2} = 4 x$ B、 $x_{1} x_{2} = 16 ， y_{1} y_{2} = - 16$ C、 $△ O A B$ 的面积的最小值为32 D、弦 $A B$ 中点的轨迹为一条抛物线

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12. 已知函数 $f (x) = x (l n x - a x)$ ，则（）

A、当 $a \leq 0$ 或 $a = \frac{1}{e}$ 时， $f (x)$ 有且仅有一个零点 B、当 $a \leq 0$ 或 $a = \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 有且仅有一个极值点 C、若 $f (x)$ 为单调递减函数，则 $a > \frac{1}{2}$ D、若 $f (x)$ 与 $x$ 轴相切，则 $a = \frac{1}{e}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = 2 l n (2 x) - x^{2} + \frac{1}{4}$ ，则函数 $f (x)$ 的零点个数为．

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14. 在 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b - c = \frac{1}{4} a, 2 \sin B = 3 \sin C$ ，则 $\cos A$ 的值为.

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15. 设数列 ${a_{n}}$ 的每一项均为正数，且 $a_{1} = 1$ ，且有 $4 (n + 1) a_{n + 1}^{2} - n a_{n}^{2} + 2 a_{n} a_{n + 1} = 0$ ，则 $a_{6} =$ ．

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16. 已知点P在双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线E的左、右焦点，若 $| F_{1} F_{2} |$ 是 $| P F_{1} | ， | P F_{2} |$ 的等差中项，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $c^{2}$ （c为双曲线E的半焦距），则双曲线E的离心率为．

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四、解答题

17. 记各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和是 $S_{n}$ ，已知 $a_{n}^{2} + a_{n} = 2 S_{n}$ ， n为正整数，

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = t a n (a_{n}) \cdot t a n (a_{n + 1})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C满足 $2 a^{2} + b^{2} = 2 c^{2}$ 且 $B \neq 90 °$ ．

(1)、求证： $t a n C = 3 t a n A$ ；

(2)、求 $\frac{1}{t a n A} + \frac{1}{t a n B} + \frac{1}{t a n C}$ 的最小值．

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19. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ， $B D = 8$ ， $A C = 6$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折到 $△ P A C$ 的位置使得 $P D = 4$ ．

(1)、证明： $P B ⊥ A C$ ．

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 世卫组织近日表示，Delta毒株已扩散至92个国家和地区．这让某国某州的医疗一度濒临崩遗．某国卫生与公共服务部数据显示，在6月23日至7月7日的两周里，该州新冠肺炎确诊病例数新增 $46 %$ ，平均每周增长1111个病例数，每周人均感染病例人数高居全国首位．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过新冠疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家120个接种与未接种新冠疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
接种新冠疫苗与否/人数
感染Delta病毒
未感染Delta病毒
未接种新冠疫苗
20
30
接种新冠疫苗
10
60
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$P (χ^{2} \geq k_{0})$
0.1
0.05
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、是否有99.5%的把握认为密切接触者感染Delta病毒与未接种新冠疫苗有关；

(2)、以样本中结束医学现察的密切接触者感染Delta病毒的频率估计概率．现从该地区结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染Delta病毒人数统计，求其中至少有2人感染Delta病毒的概率；

(3)、该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行Delta病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 $p (0 < p < 1)$ 且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为 $f (p)$ ．求当p为何值时， $f (p)$ 最大？

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1 ， F_{1}$ 为右焦点，直线 $l ： y = t (x - 1)$ 与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段 $A S$ 与线段 $B S$ 的中垂线交于点Q．

(1)、当 $t = 2$ 时，求 $| Q F_{1} |$ ；

(2)、当 $t \neq 0$ 时，求 $\frac{| Q F_{1} |}{| A B |}$ 是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．

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22. 设函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x + a l n x$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、任意正实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，当 $x_{1} + x_{2} = 2$ 时，试判断 $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 与 $- \frac{1}{2} (a - 2)^{2}$ 的大小关系，并证明．

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接种新冠疫苗与否/人数	感染Delta病毒	未感染Delta病毒
未接种新冠疫苗	20	30
接种新冠疫苗	10	60

$P (χ^{2} \geq k_{0})$	0.1	0.05	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828