湖南省部分校2022-2023学年高三上学期数学9月月考试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 7 x - 8 \leq 0} ， B = {x ∣ x = 2^{n} ， n \in N}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${2 ， 4}$ C、 ${2 ， 4 ， 8}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 8}$

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2. 已知点 $M$ 在函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 8 x - 9$ 的图象上，且在第二象限内，若 $f (x)$ 的图象在点 $M$ 处的切线斜率为1，则点 $M$ 的坐标为（）

A、 $(- 3 ， 6)$ B、 $(- 3 ， 12)$ C、 $(- 2 ， \frac{1}{3})$ D、 $(- 2 ， 13)$

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3. 生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量 $y$ （单位： $m g$ ）与时间 $t$ （单位：年）近似满足关系式 $y = λ (1 - 3^{- x t}) ， λ \neq 0$ ，其中 $λ$ 为抗生素的残留系数，当 $t = 8$ 时， $y = \frac{8}{9} λ$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 如图，某校数学建模社团对该校旗杆的高度进行测量，该社团的同学在A处测得该校旗杆顶部P的仰角为 $α$ ，再向旗杆底部方向前进15米到达B处，此时测得该校旗杆顶部P的仰角为 $β$ ．若 $t a n α = \frac{1}{3} ， t a n β = \frac{1}{2}$ ，则该校旗杆的高度为（）

A、14米 B、15米 C、16米 D、17米

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5. 已知曲线 $y = 4 \sqrt{x}$ 在点 $(1 ， 4)$ 处的切线的倾斜角为 $\frac{α}{2}$ ，则 $\frac{1 + s i n α + c o s α}{1 - \sqrt{2} c o s (α + \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 a - 2) x - 4 a ， x < 1 \\ l o g_{\frac{1}{2}} x ， x \geq 1 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， \frac{2}{3})$ B、 $(- \frac{2}{3} ， 2]$ C、 $(- \infty ， - \frac{2}{3})$ D、 $(0 ， \frac{2}{3})$

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7. 某干燥塔的底面是半径为1的圆面 $O$ ，圆面有一个内接正方形 $A B C D$ 框架，在圆 $O$ 的劣弧 $B C$ 上有一点 $P$ ，现在从点 $P$ 出发，安装 $P A ， P B ， P C$ 三根热管，则三根热管的长度和的最大值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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8. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + a}$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上的最大值为 $\frac{2}{3}$ ，则 $a =$ （）

A、2或 $\frac{33}{16}$ B、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{33}{16}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = 2 s i n^{2} (2 x + \frac{π}{12}) + 2 \sqrt{3} s i n (2 x + \frac{π}{12}) s i n (2 x - \frac{5 π}{12}) - 1$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{24} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称

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二、多选题

10. 若 ${1 ， 3} ⊊ B \subseteq {1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ，则B可能为（）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${1 ， 3 ， 5}$ C、 ${1 ， 3 ， 7}$ D、 ${1 ， 3 ， 5 ， 7}$

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11. 已知函数 $f (x) = c o s ω π x (ω > 0)$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{1}{3 ω}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，点A，B，C是 $f (x)$ 与 $g (x)$ 图象的连续相邻的三个交点，若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $ω$ 的值可能为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x} - c o s 2 x$ ，若 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上为增函数 C、 $x_{1}^{2} > x_{2}^{2}$ D、 $e^{x_{1} - x_{2}} > 1$

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三、填空题

13. 集合 ${x ∣ - 1 < x < 3$ 且 $x \in N}$ 的所有非空真子集的个数为.

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14. 已知 $p ： \exists x \in R ， a x^{2} + 2 x + 1 < 0 ， q ： a \in (1 ， + \infty)$ ，则 $\neg p$ 是 $q$ 的条件.（在充分不必要､必要不充分､充要､既不充分也不必要中选一个正确的填入）

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将向量 $\vec{O A} = (\sqrt{3} ， - 1)$ 绕原点 $O$ 按顺时针方向旋转 $\frac{π}{6}$ 后得到向量 $\vec{O B} = (m ， n)$ ，则 $m + n^{2} =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 x - 1 ， x \geq 0 ， \\ 2^{x} - 2 ， x < 0 ， \end{array}$ 若方程 $[f (x)]^{2} - 2 a f (x) + 4 = 0$ 有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为．

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ .已知 $\sqrt{3} s i n 2 C = 2 s i n^{2} C$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $S_{5} - S_{3} = - 27 S_{2}$ ，且 $a_{1} ， - 1 ， a_{2}$ 成等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = | a_{n} - 1 |$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D ， A D ∥ B C ， P A = A B = B C = 1 ， A D = 2 ， C D = \sqrt{2} ， P A ⊥ A D$ ，点 $E$ 在棱 $P C$ 上，设 $C E = λ C P$ .

(1)、证明： $C D ⊥ A E$ .

(2)、设二面角 $C - A E - D$ 的平面角为 $θ$ ，且 $| c o s θ | = \frac{3 \sqrt{5}}{10}$ ，求 $λ$ 的值.

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20. 某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.

(1)、求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率.

(2)、记随机变量 $X$ 为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ .

(3)、该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元.若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由.

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，点 $A (6 ， 4)$ 在 $C$ 上.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程.

(2)、设过点 $B (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $D ， E$ 两点，问在 $x$ 轴上是否存在定点 $P$ ，使得 $\vec{P D} \cdot \vec{P E}$ 为常数？若存在，求出点 $P$ 的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.

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22. 设函数 $f (x) = (x + 1) l n (x + m) - n (x^{2} + x)$ ，其中 $m ， n \in R$ .

(1)、当 $m = n = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极大值；

(2)、若不等式 $f (x) ⩽ 0$ 在区间 $[0 ， + \infty)$ 上恒成立，证明： $e^{n} - m ⩾ 1$ .

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