湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期数学第三次联考试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in R ∣ - 1 \leq x \leq 2} ， B = {x \in R ∣ x^{2} \notin A}$ .则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[\sqrt{2} ， 2]$ B、 $(\sqrt{2} ， 2]$ C、 $[- 1 ， \sqrt{2}]$ D、 $[- 1 ， \sqrt{2})$

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2. 设复数 $z$ 满足 $| z - 1 | = 2 | I m z |$ ，则 $z$ 在复平面上对应的点的轨迹为（）

A、直线 B、圆 C、双曲线 D、抛物线

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3. 若 $s i n θ = c o s^{3} θ$ ，则 $t a n^{3} θ + t a n θ =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4. 已知 $α ， β$ 代表不同的平面， $l_{1} ， l_{2}$ 代表不同的直线，则下列说法中正确的是（）

A、若 $α ⊥ β ， l_{1} \subset α$ ，则 $l_{1} ⊥ β$ B、若 $l_{1} ∥ α ， l_{2} ∥ α$ ，则 $l_{1} ∥ l_{2}$ C、若 $α / / β ， l_{1} \subset α ， l_{2} \subset β$ ，则 $l_{1} ∥ l_{2}$ D、若 $α ⊥ β ， l_{1} ⊥ α ， l_{2} ⊥ β$ ，则 $l_{1} ⊥ l_{2}$

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5. 设抛物线C₁：y₂=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，点P(2，2).已知以点F，P为焦点的椭圆C₂与抛物线C₁有公共点，则该椭圆的离心率的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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6. 图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态.如图2，将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体.已知半球的密度是圆锥的2倍，已知要让半球质量不小于圆锥质量，才能使它在一定角度范围内“不倒”，则圆锥的高和底面半径之比至多为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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7. 将曲线 $(x + y) (x - 2 y + 1) + 1 = 0$ 的图像画在坐标轴上，再把坐标轴擦去（ $x$ 轴水平向右， $y$ 轴竖直向上），得到的图像最有可能为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若实数 $M$ 满足：对每个满足 $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2$ 的不为常数的数列 ${a_{n}}$ ，存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $a_{k} \geq M$ ，则 $M$ 的最大值为（）

A、-1 B、 $\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ D、2

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二、多选题

9. 已知 $a ， b \in R ， 4^{a} = b^{2} = 9$ ，则 $2^{a - b}$ 的值可能为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、24 D、 $\frac{1}{24}$

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10. 已知 $a > b ， c > d ， \frac{e^{a}}{a + 1} = \frac{e^{b}}{b + 1} = 1.01 ， (1 - c) e^{c} = (1 - d) e^{d} = 0.99$ ，则（）

A、 $a + b > 0$ B、 $c + d > 0$ C、 $a + d > 0$ D、 $b + c > 0$

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11. 已知 $(x + 2)^{6} = \sum_{i = 0}^{6} a_{i} x^{i}$ ，则（）

A、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 666$ B、 $a_{3} = 20$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} > a_{2} + a_{4} + a_{6}$ D、 $a_{1} + 2 a_{0} = a_{3} + 2 a_{4} + 3 a_{5} + 4 a_{6}$

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12. 已知 $a \neq 0 ， a ， b \in R$ .设命题 $p$ ：过点 $(1 ， 1)$ 恰可作一条关于 $y = a x^{3} + b x$ 的切线.以下为命题 $p$ 的充分条件的有（）

A、 $b + a = 1$ B、 $b - a = 1$ C、 $a = e^{b}$ D、 $b = e^{a}$

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三、填空题

13. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 3 y - 3 = 0$ 的直径为.

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14. 请写出一个满足以下条件的函数 $f (x)$ 的解析式.
① $f (x)$ 为偶函数；②当 $x > 0$ 时， $l n x ⩽ f (x) ⩽ \frac{x}{e}$ .

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15. 数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数 $a ， n (n ⩾ 2)$ ，若存在一个整数 $x$ ，使得 $n$ 整除 $x^{2} - a$ ，则称 $a$ 是 $n$ 的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数 $a$ ，记事件 $A = “ a$ 与12互质”， $B = “ a$ 是12的二次非剩余”，则 $P (A) =$ ； $P (B ∣ A) =$ .

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16. 已知 $\vec{e}$ 为平面单位向量，平面向量 $\vec{a}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{e} | + 2 | \vec{a} + \vec{e} | = 4$ ，则 $\frac{(\vec{a} - \vec{e}) \cdot (\vec{a} + \vec{e})}{| \vec{a} + \vec{e} |}$ 的最小值为，最大值为.

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} > 0$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，且数列 ${\sqrt{S_{n}}}$ 为等差数列.

(1)、证明：数列 ${\frac{S_{n}}{n^{2}}}$ 为常数列；

(2)、设数列 ${\frac{a_{1} S_{n}}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n} (n \in N^{*})$ ，求 ${T_{n}}$ 的通项公式.

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18. 设 $△ A B C$ 的内心为点 $I ， A I$ 与 $△ A B C$ 的外接圆的另一交点为点 $D$ .

(1)、证明： $B D = I D$ ；

(2)、若 $\vec{A I} \cdot \vec{I D} = \vec{B C} \cdot \vec{B D}$ ，且 $△ A B C$ 的三边成等差数列，求 $c o s A$ .

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19. 随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设 $X$ 为离散型随机变量，则 $P (| X - E (X) | ⩾ λ) ⩽ \frac{D (X)}{λ^{2}}$ ，其中 $λ$ 为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量 $X$ 的分布未知的情况下，对事件 $| X - λ | ⩽ λ$ 的概率作出估计.

(1)、证明离散型切比雪夫不等式；

(2)、应用以上结论，回答下面问题：已知正整数 $n ⩾ 5$ .在一次抽奖游戏中，有 $n$ 个不透明的箱子依次编号为 $1 ， 2 ， ⋯ ， n$ ，编号为 $i (1 ⩽ i ⩽ n)$ 的箱子中装有编号为 $0 ， 1 ， ⋯ ， i$ 的 $i + 1$ 个大小､质地均相同的小球.主持人邀请 $n$ 位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为 $i$ 的箱子中抽取的小球号码为 $X_{i}$ ，并记 $X = \sum_{i = 1}^{n} \frac{X_{i}}{i}$ .对任意的 $n$ ，是否总能保证 $P (X ⩽ 0.1 n) ⩾ 0.01$ （假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.
附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量 $X ， X_{1} ， X_{2} ， ⋯ ， X_{n}$ 满足 $X = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ ，则有 $E (X) = \sum_{i = 1}^{n} E (X_{i})$ .

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20. 如图，在几何体 $A B C D E$ 中，底面 $A B C$ 为以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形.已知平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C E ， D E$ $∥$ 平面 $A B C ， A D ⊥ D E$ .

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若 $A C = 2 C D = 2$ ，设 $M$ 为棱 $B E$ 的中点，求当几何体 $A B C D E$ 的体积取最大值时 $A M$ 与 $C D$ 所成角的正切值.

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = A E = 2$ ， $G$ 为 $E F$ 中点.

(1)、求证： $O G / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求二面角 $D - B E - A$ 的正弦值；

(3)、当直线 $O F$ 与平面 $B D E$ 所成角为 $45 °$ 时，求异面直线 $O F$ 与 $D E$ 所成角的余弦值.

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22. 设函数 $f (x) = a \sqrt{x + b} (a > 0)$ ， $g (x) = e^{- x}$ ， $h (x) = f (x) g (x)$ ， $h (x)$ 的极大值点为 $x = 0$ .

(1)、求 $b$ ；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 上分别存在两点 $A ， C ， B ， D$ ，使得四边形 $A B C D$ 为边平行于坐标轴的矩形，求 $a$ 的取值范围.

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