河南省豫南名校2022-2023学年高三上学期理数9月质量检测试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 7 x - 8 \leq 0} ， B = {x ∣ x = 2^{n} ， n \in N}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${2 ， 4}$ C、 ${2 ， 4 ， 8}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 8}$

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2. 已知命题 $p ： \exists x \in (0 ， + \infty)$ ， $x - 1 = l n x$ ．（）．

A、p为真命题， $\neg p ： \exists x \in (0 ， + \infty)$ ， $x - 1 \neq l n x$ B、p为假命题， $\neg p ： \forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x - 1 \neq l n x$ C、p为真命题， $\neg p ： \forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x - 1 \neq l n x$ D、p为假命题， $\neg p ： \forall x \notin (0 ， + \infty)$ ， $x - 1 \neq l n x$

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3. 已知 $△ A B C$ 的垂心为M，则“M在 $△ A B C$ 的外部”是“ $△ A B C$ 钝角三角形”的（）．

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知点 $M$ 在函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 8 x - 9$ 的图象上，且在第二象限内，若 $f (x)$ 的图象在点 $M$ 处的切线斜率为1，则点 $M$ 的坐标为（）

A、 $(- 3 ， 6)$ B、 $(- 3 ， 12)$ C、 $(- 2 ， \frac{1}{3})$ D、 $(- 2 ， 13)$

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5. 已知 $t a n (α + \frac{π}{4}) = 3$ ，则 $\frac{s i n (α + π) + c o s (π - α)}{c o s (α - \frac{π}{2}) + s i n (\frac{3 π}{2} - α)} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{5 π}{16}) (ω > 0)$ 图象的一条对称轴为直线 $x = \frac{π}{16}$ ，则 $ω$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 函数 $f (x) = e^{| x |} (2 - x^{2})$ 的大致图像为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为16cm，则该扇形的中心角的弧度数为（）．

A、2.3 B、2.5 C、2.4 D、2.6

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9. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) + f (- x) = - 4$ ，函数 $f (x)$ 与 $g (x) = x - 3$ 图象的交点分别为 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， $(x_{3} ， y_{3})$ ， $(x_{4} ， y_{4})$ ， $(x_{5} ， y_{5})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} + y_{i}) =$ （）

A、-10 B、-5 C、5 D、10

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10. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”《增广贤文》是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1％，那么一年后是 $(1 + 1 %)^{365} = 1.0 1^{365}$ ；如果每天的“退步”率都是1％，那么一年后是 $(1 - 1 %)^{365} = 0.9 9^{365}$ ，一年后“进步”的是“退步”的 $\frac{1.0 1^{365}}{0.9 9^{365}} = {(\frac{1.01}{0.99})}^{365} \approx 1481$ 倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20％，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是（参考数据：1g 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）（）

A、15天 B、17天 C、19天 D、21天

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， 0 ⩽ x ⩽ 1 ， \\ l n (- x) ， x < 0 ， \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $[f (x)]^{2} - a f (x) + 2 = 0$ 有4个不同的实根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， 4]$ B、 $(2 \sqrt{2} ， 4]$ C、 $[2 ， 3]$ D、 $(2 \sqrt{2} ， 3]$

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12. 已知 $a = c o s \frac{2}{3}$ ， $b = s i n \frac{7}{9}$ ， $c = \frac{7}{9}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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二、填空题

13. 设 $s i n \frac{α}{2} = \frac{\sqrt{7}}{7}$ ， $α \in (0 ， π)$ ，则 $s i n α =$ ．

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14. 生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量 $y$ （单位： $m g$ ）与时间 $t$ （单位：年）近似满足关系式 $y = λ (1 - 3^{- λ t})$ ， $λ \neq 0$ ，其中 $λ$ 为抗生素的残留系数，当 $t = 8$ 时， $y = \frac{8}{9} λ$ ，则 $λ =$ ．

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15. 写出一个同时满足下列三个性质的函数： $f (x) =$ ．
①定义域为 $R$ ；② $f (- x) f (x) = {[f (0)]}^{2} \neq 1$ ；③ $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x) = 2 f (x) \neq 0$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $b^{2} t a n A = a^{2} t a n B$ ，点 $D$ 是线段 $B C$ 的中点，若 $A D = 5$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是.

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ .已知 $\sqrt{3} s i n 2 C = 2 s i n^{2} C$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 已知 $p$ ：“实数 $a$ 满足 ${x ∣ m ⩽ x ⩽ m + 1} \underset{\neq}{\subset} {x ∣ 1 ⩽ x ⩽ a}$ ”， $q ：$ “ $\forall x \in R ， \sqrt{a x^{2} + a x + 3}$ 都有意义”.

(1)、已知 $m = 1 ， p$ 为假命题， $q$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - 2 f (x - \frac{π}{6})$ ，对任意的 $x \in [- \frac{π}{12} ， \frac{π}{2}] ， g (x) - a ⩾ 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 l o g_{a} (\frac{x}{2} + 1) - l o g_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2} ， 3]$ 上的最大值大于 $- 1$ ，求 $a$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - l n x$ .

(1)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 1 + l n a$ 恰有一个解，求a的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s 2 x$ ， $g (x) = a + c o s x s i n 2 x$ ．

(1)、求 $g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的极小值点；

(2)、若 $f (x)$ 的最大值大于 $g (x)$ 的最大值，求 $a$ 的取值范围．

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