河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期理数第一次月考试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | l o g_{2} x > 1} ， Q = {x | \frac{x - 3}{x + 2} \leq 0}$ ，则 $(∁_{R} P) ∩ Q =$ （）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $(- 2 ， 2]$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $(0 ， 2]$

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2. 已知复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ ，满足 $z_{2} \neq 0$ ， $| z_{1} \cdot \bar{z_{2}} | = 2 | z_{2} |$ ，则 $| z_{1} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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3. 若 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 是夹角为 $6 0^{∘}$ 的两个单位向量，则 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = - 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 的夹角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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4. 执行如图所示的程序框图，如果输出 $s = 3$ ，那么判断框内应填入的条件是（）

A、 $k \leq 6 ?$ B、 $k \leq 7 ?$ C、 $k \leq 8 ?$ D、 $k \leq 9 ?$

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5. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量 $P$ 会按确定的比率衰减（称为衰减率）， $P$ 与死亡年数 $t$ 之间的函数关系式为 $P = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{a}}$ （其中 $a$ 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的 $75 %$ ，则可推断该文物属于（）
参考数据： $l o g_{2} 0.75 \approx - 0.4$
参考时间轴：

A、宋 B、唐 C、汉 D、战国

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6. 《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务 $A$ 必须排在前三位，且任务 $E$ 、 $F$ 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（）

A、240种 B、188种 C、156种 D、120种

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7. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ 且 $0 < φ < π$ ）在一个周期内的图象如图所示，将函数 $y = f (x)$ 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则 $g (\frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、－1 D、 $- \sqrt{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = x l n (1 + x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 单调递增 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- \frac{1}{2} ， f (- \frac{1}{2}))$ 处切线的斜率为 $- 1 - l n 2$ D、 $f (x)$ 是偶函数

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9. 已知A， $B$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上两动点， $F$ 为抛物线 $C$ 的焦点，则下列说法错误的是（）

A、直线 $A B$ 过焦点 $F$ 时， $| A B |$ 最小值为4 B、直线 $A B$ 过焦点 $F$ 且倾斜角为60°时（点A在第一象限）， $| A F | = 2 | B F |$ C、若 $A B$ 中点 $M$ 的横坐标为3，则 $| A B |$ 最大值为8 D、点A坐标 $(4 ， 4)$ ，且直线 $A F$ ， $A B$ 斜率之和为0， $A F$ 与抛物线的另一交点为 $D$ ，则直线 $B D$ 方程为： $4 x + 8 y + 7 = 0$

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10. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $A B = 2$ ， $△ A B C$ 与 $△ P A B$ 的外接圆圆心分别为 $O_{1}$ ， $O_{2}$ ，若三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为 $16 π$ ，设 $O_{1} A = a$ ， $O_{2} A = b$ ，则 $a + b$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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11. 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是 $10 9^{∘} 2 8^{'}$ ，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱 $A B C D E F - A^{^{'}} B^{^{'}} C^{^{'}} D^{^{'}} E^{^{'}} F^{^{'}}$ 的三个顶点 $A ， C ， E$ 处分别用平面 $B F M$ ，平面 $B D O$ ，平面 $D F N$ 截掉三个相等的三棱锥 $M - A B F ， O - B C D ， N - D E F$ ，平面 $B F M$ ，平面 $B D O$ ，平面 $D F N$ 交于点 $P$ ，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面 $P B O D$ 与正六边形底面所成的二面角的大小为 $θ$ ，则（）

A、 $t a n θ = \frac{\sqrt{3}}{3} t a n 5 4^{∘} 4 4^{'}$ B、 $s i n θ = \frac{\sqrt{3}}{3} t a n 5 4^{∘} 4 4^{'}$ C、 $c o s θ = \frac{\sqrt{3}}{3} t a n 5 4^{∘} 4 4^{'}$ D、 $t a n θ = \frac{\sqrt{3}}{t a n 5 4^{∘} 4 4^{'}}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x l n x ， x > 0 ， \\ 0 ， x = 0 ， \\ \frac{1}{2} f (x + 1) ， x < 0 ， \end{array}$ 则下列说法正确的是（）
①当 $x \in (- 3 ， - 2]$ 时， $f (x) = \frac{1}{8} (x + 3) l n (x + 3)$ ；②若不等式 $f (x) - m x - m < 0$ 至少有3个正整数解，则 $m > l n 3$ ；③过点 $A (- e^{- 2} ， 0)$ 作函数 $y = f (x) (x > 0)$ 图象的切线有且只有一条；④设实数 $a > 0$ ，若对任意的 $x \geq e$ ，不等式 $f (x) \geq \frac{a}{x} e^{\frac{a}{x}}$ 恒成立，则 $a$ 的最大值是 $e$ ．

A、①③④ B、②③④ C、①③ D、①④

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二、填空题

13. ${(x - 2 y + z)}^{8}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3} z^{2}$ 的系数是（用数字作答）．

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14. 过点 $P (2 ， 2)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，则直线 $A B$ 的方程为．

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a l n (2 x + 1)$ 有两个不同的极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 定义离心率是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的椭圆为“黄金椭圆”．若“黄金椭圆” $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 两个焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ $(c > 0)$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上的异于顶点的任意一点，点 $M$ 是 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，连接 $P M$ 并延长交 $F_{1} F_{2}$ 于点 $N$ ，则 $\frac{| P M |}{| M N |}$ ．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} ， & n 为奇数 \\ 2 a_{n} ， & n 为偶数 \end{array}$

(1)、记 $b_{n} = a_{2 n}$ ，写出 $b_{1} ， b_{2}$ ，并求出数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前2022项和 $S_{2022}$ .

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18. 如图，圆台下底面圆 $O$ 的直径为 $A B$ ， $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A ， B$ 的点，且 $∠ B A C = 3 0^{∘}$ ， $M N$ 为上底面圆 $O^{'}$ 的一条直径， $△ M A C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形， $M B = 4$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $M A C$ ；

(2)、求平面 $M A C$ 和平面 $N A B$ 夹角的余弦值.

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19. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有 $X$ 个孩子的概率模型为：
$X$
1
2
3
0
概率
$\frac{α}{p}$
$α$
$α (1 - p)$
$α (1 - p)^{2}$
其中 $α > 0 ， 0 < p < 1$ .每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 $\frac{1}{2}$ 且相互独立，事件 $A_{i}$ 表示一个家庭有 $i$ 个孩子 $(i = 0 ， 1 ， 2 ， 3)$ ，事件 $B$ 表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.

(1)、若 $p = \frac{1}{2}$ ，求 $α$ 和 $P (B)$ ；

(2)、为了调控未来人口结构，其中参数 $p$ 受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等）.
①若希望 $P (X = 2)$ 增大，如何调控 $p$ 的值？
②是否存在 $p$ 的值使得 $E (X) = \frac{5}{3}$ ，请说明理由.

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20. 设 $A ， B$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右顶点，直线 $l$ 过右焦点 $F$ 且与双曲线 $C$ 的右支交于 $M ， N$ 两点，当直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴时， $△ A M N$ 为等腰直角三角形.

(1)、求双曲线 $C$ 的离心率；

(2)、已知 $A B = 4$ ，若直线 $A M ， A N$ 分别交直线 $x = \frac{a}{2}$ 于 $P ， Q$ 两点，当直线 $l$ 的倾斜角变化时，以 $P Q$ 为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

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21. 已知 $e$ 是自然对数的底数，函数 $f (x) = \frac{a x^{2}}{e^{x}}$ ，直线 $y = \frac{1}{e} x$ 为曲线 $y = f (x)$ 的切线， $g (x) = (x + 1) l n x$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、①判断 $F (x) = f (x) - g (x)$ 的零点个数；
②定义 $m i n {m ， n} = {\begin{array}{l} m ， m \leq n ， \\ n ， m > n ， \end{array}$ 函数 $m (x) = m i n {f (x) ， g (x)} . h (x) = m (x) - t x^{2}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增.求实数 $t$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{c o s t} \\ y = \frac{t a n t}{2} \end{array}$ （ $t$ 为参数， $- \frac{π}{2} < t < \frac{π}{2}$ ）．以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ c o s (θ - \frac{π}{6}) + (m - \frac{\sqrt{3}}{2}) ρ c o s θ - 1 = 0 (m \in R)$ ．

(1)、写出 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 有两个公共点，求实数 $m$ 的取值范围．

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23. 已知正数 $a ， b ， c$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ ，证明：

(1)、 $a b c \geq 27$ ；

(2)、 $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{a + c}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}}$ ≥ $2 \sqrt{a b c}$ .

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$X$	1	2	3	0
概率	$\frac{α}{p}$	$α$	$α (1 - p)$	$α (1 - p)^{2}$