河北省沧州市普通高中2023届高三上学期数学摸底考试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合A，B满足 $A ∪ B = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} ， A ∩ B = {2 ， 4} ， A = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $B =$ （）

A、 ${2 ， 4 ， 5 ， 6}$ B、 ${1 ， 2 ， 4 ， 6}$ C、 ${2 ， 4 ， 6}$ D、 ${1 ， 2 ， 4}$

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2. 设复数 $z = 1 + i$ （i为虚数单位），则 $| z^{2} - z \bar{z} | =$ （）

A、0 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 已知 $a ， b$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，且 $a ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”是“ $b ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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5. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4 ， M (x_{0} ， y_{0})$ 为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（）

A、 $x + y - 2 \sqrt{2} = 0$ B、 $x + y - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$ C、 $x + y - 4 \sqrt{2} = 0$ D、 $x - y - 2 \sqrt{2} = 0$

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6. 已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为 $\frac{π}{2}$ ，则母线长为（）

A、4 B、8 C、10 D、16

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - e^{2 x}}{e^{2 x} + 1}$ ，不等式 $f (x^{2}) > f (x + 2)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A ， B$ 两点，现将平面 $A F_{1} F_{2}$ 沿 $F_{1} F_{2}$ 所在直线折起，点 $A$ 到达点 $P$ 处，使二面角 $P - F_{1} F_{2} - B$ 的平面角的大小为 $3 0^{∘}$ ，且三棱锥 $P - B F_{1} F_{2}$ 的体积为 $\frac{1}{6} a^{2} c$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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9. 下列说法正确的是（）

A、样本中心 $(\bar{x} ， \bar{y})$ 不一定在回归直线上 B、两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1 C、若所有样本点都在直线 $y = - 2 x + 1$ 上，则 $r = - 2$ D、以 $\hat{y} = c e^{k x}$ 拟合一组数据时，经 $z = l n y$ 代换后的线性回归方程为 $\hat{z} = 0.3 x + 4$ ，则 $\hat{y} = e^{0.3 x + 4}$

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二、多选题

10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + 2 a_{n} + 1$ ，数列 ${\frac{2^{n}}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列选项正确的为（）

A、数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列 B、数列 ${a_{n} + 1}$ 是等差数列 C、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n} - 1$ D、 $T_{n} > 1$

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11. 函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} c o s (2 ω x - \frac{π}{3}) - 2 s i n 2 ω x (0 < ω < 1)$ 的图象如图所示，将其向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、函数 $g (x)$ 的图象上存在点 $P$ ，使得在 $P$ 点处的切线与直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 垂直 C、函数 $y = g (x) \cdot s i n x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 D、函数 $g (2 x + \frac{π}{3})$ 在 $[- \frac{π}{9} ， \frac{π}{9}]$ 上单调递减

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12. 已知 $a ， b \in R$ ， e是自然对数的底，若 $b + e^{b} = a + l n a$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值可以是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、填空题

13. $(1 - x) {(2 + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为．（用数字作答）

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14. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{b} |$ 的取值范围为.

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15. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为.（用数字作答）

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16. 已知函数 $f (x) = {(\frac{x}{e^{x}})}^{2} + (a - 2) \frac{x}{e^{x}} + 2 - a$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 ${(1 - \frac{x_{1}}{e^{x_{1}}})}^{2} (1 - \frac{x_{2}}{e^{x_{2}}}) (1 - \frac{x_{3}}{e^{x_{3}}})$ 的值为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 3 a_{n} - 3$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{3} = 23 ， b_{5} = 19$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} ， b_{n}$ ；

(2)、定义： $a * b = {\begin{array}{l} a ， a \leq b ， \\ b ， a > b ， \end{array}$ 记 $c_{n} = a_{n} * b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前20项和 $T_{20}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $(2 b - c) c o s A = a c o s C ， a = 3$ ．

(1)、求角A；

(2)、若点D满足 $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ ，求 $△ B C D$ 面积的最大值．

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19. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点， $G$ 为棱 $D D_{1}$ 上的动点.

(1)、求证： $B$ ， $E$ ， $D_{1}$ ， $F$ 四点共面；

(2)、是否存在点 $G$ ，使得平面 $G E F ⊥$ 平面 $B E F$ ？若存在，求出 $D G$ 的长度；若不存在，说明理由.

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20. 2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

(1)、在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；

(2)、“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记 $X$ 为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；

(3)、现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？

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21. 已知 $F (\sqrt{3} ， 0)$ 是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点，点 $M (\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ 在椭圆C上．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线 $l$ 与椭圆C分别相交于A，B两点，且 $k_{O A} + k_{O B} = - \frac{1}{2}$ (O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - 2 a x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，当 $x_{1} + x_{2} \in [3 l n 2 - 4 ， \frac{5 - 3 e}{e - 1}]$ 时，求 $\frac{x_{2} + 2}{x_{1} + 2}$ 的取值范围.

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