河北省保定市2023届高三上学期数学9月月考试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {3 ， 4 ， 5} ， M ∪ N = {1 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则集合 $N$ 可能为（）

A、 ${1 ， 4 ， 6}$ B、 ${3 ， 4 ， 6}$ C、 ${1 ， 2 ， 6}$ D、 ${1 ， 3}$

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2. 命题“ $\exists x \in Q ， \sqrt{x^{2} + 1} \in Q$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in Q ， \sqrt{x^{2} + 1} \notin Q$ B、 $\forall x \notin Q ， \sqrt{x^{2} + 1} \notin Q$ C、 $\exists x \in Q ， \sqrt{x^{2} + 1} \notin Q$ D、 $\forall x \in Q ， \sqrt{x^{2} + 1} \in Q$

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3. 定义矩阵运算 $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} a x + b y \\ c x + d y \end{array})$ ，则 $(\begin{array}{l} l g 2 & l g 8 \\ l g 5 & l g 10 \end{array}) (\begin{array}{l} 2 \\ - 1 \end{array}) =$ （）

A、 $(\begin{array}{l} - l g 2 \\ l g 2.5 \end{array})$ B、 $(\begin{array}{l} l g 2 \\ l g 2.5 \end{array})$ C、 $(\begin{array}{l} - l g 2 \\ l g 5 \end{array})$ D、 $(\begin{array}{l} - l g 2 \\ - l g 2.5 \end{array})$

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4. 设 $m ， n \in R$ ，当 $m n \geq 0$ 时， $m \otimes n = m + n$ ；当 $m n < 0$ 时， $m \otimes n = | m + n |$ .例如 $- 6 \otimes 4 = 2$ ，则“ $a \otimes b = - 1$ ”是“ $a = 0 ， b = - 1$ 或 $a = - 1 ， b = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{3 x s i n x}{1 + 2 x^{2}}$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} s i n x}{1 + x^{2}}$ C、 $f (x) = \frac{3 x^{2} c o s x}{1 + 2 x^{2}}$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} c o s x}{1 + x^{2}}$

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6. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， A D = 3 ， \vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{E B} ， \vec{D F} = 2 \vec{F C}$ ，且 $\vec{B F} \cdot \vec{C E} = - 6$ ，则 $c o s ∠ B C D =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 不等式 $x^{2} - 4 x + m ⩽ 0$ 的解集为 ${x ∣ a ⩽ x ⩽ b}$ ，其中 $0 < m < 4$ ，则 $\frac{1}{10 a + 2 b} + \frac{1}{4 b - 4 a}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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8. 如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径相等（半径大于1分米）.若该几何体的表面积为 $12 π$ 平方分米，其体积为 $V$ 立方分米，则 $V$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{16 π}{3} ， 4 \sqrt{3} π)$ B、 $(\frac{16 π}{3} ， 4 \sqrt{3} π]$ C、 $(4 π ， \frac{16 π}{3})$ D、 $[4 π ， \frac{16 π}{3})$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = 1 - s i n \frac{π x}{2}$ ，则 $f (x)$ 的图象（）

A、关于直线 $x = - 1$ 轴对称 B、在 $(- 2 ， 4)$ 上有3个最高点 C、关于点 $(0 ， 1)$ 中心对称 D、可由曲线 $y = 1 + c o s \frac{π x}{2}$ 向左平移1个单位长度得到

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10. 在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为“鳖臑”.在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ，则（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ 可能成立 B、 $\vec{B C} \cdot \vec{A C} = 0$ 可能成立 C、 $\vec{P A} \cdot \vec{B C} = 0$ 一定成立 D、 $\vec{B C} \cdot \vec{A B} = 0$ 可能成立

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11. 下列命题中，为真命题的是（）

A、 $\exists x \in [1 ， 2] ， x + 2^{x} = 5$ B、函数 $y = l n (2^{x} + x^{2} - 12)$ 的值域为 $R$ C、每个四棱锥都有外接球 D、 $\forall m \in N ， \sqrt{3} + \sqrt{13} < \sqrt{5} + \sqrt{11} + m$

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12. 若对任意的 $i ， j \in N^{*}$ 且 $i \neq j$ ，总存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} = a_{i} \cdot a_{j} (i + j ⩽ n)$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 是“ $Ω$ 数列”.（）

A、至少存在一个等比数列不是“ $Ω$ 数列” B、至少存在两个常数列为“ $Ω$ 数列” C、若 ${a_{n}}$ 是“ $Ω$ 数列”，则 ${a_{n} + 1}$ 也是“ $Ω$ 数列” D、对任意的 $a \in N$ ， ${\frac{1}{n + a}}$ 总是“ $Ω$ 数列”

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三、填空题

13. 若复数 $z = (2 - 3 i)^{2} + m (m \in R)$ 为纯虚数，则 $| m + i | =$ .

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14. 写出满足 $t a n 7 α = \frac{c o s α + s i n α}{c o s α - s i n α}$ 的 $α$ 的一个值：.

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15. 已知定义在 $(0 ， 1) ∪ (1 ， 2)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ，且 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递增.当 $x \in (1 ， 2)$ 时， $f (x) = \frac{5}{2} l n x + \frac{1}{a x} - a x + a (a > - 1 ， a \neq 0)$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知数列 ${\frac{a_{n} - 2^{n}}{n}}$ 是公差为1的等差数列，且 $a_{2} = 10$ ，则 $a_{5} =$ ，数列 ${\frac{1}{a_{n} - 2^{n}}}$ 的前n项和为.

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四、解答题

17. 已知某观赏渔场有四个观赏亭，观赏亭 $A$ 位于观赏亭 $B$ 的正北方向且距离为300米，观赏亭 $C$ 位于观赏亭 $B$ 的东偏南 $3 0^{∘}$ 方向且距离为500米，观赏亭 $D$ 位于观赏亭 $C$ 的东北方向.假设这四个观赏亭处于同一高度.

(1)、求观赏亭 $A$ 与观赏亭 $C$ 之间的距离；

(2)、设观赏亭 $B$ 与观赏亭 $D$ 之间的距离等于观赏亭 $A$ 与观赏亭 $C$ 之间的距离，求 $s i n ∠ B D C$ .

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18. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $S_{5} - S_{3} = - 27 S_{2}$ ，且 $a_{1} ， - 1 ， a_{2}$ 成等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = | a_{n} - 1 |$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = x^{4} + a x^{3} - 1$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，若直线 $y = k x - 1 (k \neq 0)$ 为曲线 $y = f (x)$ 的一条切线，求 $k$ .

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D ， A D ∥ B C ， P A = A B = B C = 1 ， A D = 2 ， C D = \sqrt{2} ， P A ⊥ A D$ ，点 $E$ 在棱 $P C$ 上，设 $C E = λ C P$ .

(1)、证明： $C D ⊥ A E$ .

(2)、设二面角 $C - A E - D$ 的平面角为 $θ$ ，且 $| c o s θ | = \frac{3 \sqrt{5}}{10}$ ，求 $λ$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) + f (1 - x) = 3 x^{2} + (a - 2) x - 2 a + 1 (x \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、求函数 $h (x) = x + l n f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} + l n x - \frac{5}{4} k (k > 1)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、设 $f (x)$ 的两个零点为 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ .

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