广东省茂名市2023届高三上学期数学9月大联考试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {2 ， 4}$ ， $B = {1 ， 2}$ ，集合 $M = {z | z = \frac{x}{y} ， x \in A ， y \in B}$ ，则 $M$ 中所有元素之和为（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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2. 复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = z - 1 + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 8 x$ 的准线为 $l$ ， $l$ 与 $x$ 轴交于点 $P$ ，直线 $x = 1$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ P A B$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $12 \sqrt{2}$

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4. 已知 $f (x) = \sqrt{2} s i n (x - α) + c o s x$ 是奇函数，则 $t a n α =$ （）

A、1 B、 $± 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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5. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $A (2 ， 0)$ ， $B (- 1 ， \sqrt{3})$ ，若动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ （ $0 \leq x \leq 1$ ， $0 \leq y \leq 1$ ），则所有动点 $P$ 构成的平面图形的面积 $S =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 如图，双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点为 $F_{1} (- 2 ， 0)$ ， $F_{2} (2 ， 0)$ ，过 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 作圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，四条切线围成的四边形 $F_{1} A F_{2} B$ 的面积为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{2 x^{2}}{3} - \frac{2 y^{2}}{5} = 1$

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7. 下列各式中，不是 ${(a^{2} + 2 a - b)}^{4}$ 的展开式中的项是（）

A、 $8 a^{7}$ B、 $6 a^{4} b^{2}$ C、 $- 32 a^{3} b$ D、 $- 24 a^{3} b^{2}$

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8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - a x ， x < a ， \\ x^{2} - 4 x + 3 ， x \geq a . \end{array}$ 若 $f (x)$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}]$ B、 $[0 ， \sqrt{2}]$ C、 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}] ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $[0 ， \sqrt{2}] ∪ (2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下面是某省2016年至2021年乒乓球训练馆新增数量图和乒乓球训练馆类型统计表，则下列说法正确的是（）
2020—2021年乒乓球训练馆类型统计表
类型
2020年
2021年
A类型
24%
21%
B类型
36%
38%
C类型
40%
41%

A、2021年该省乒乓球训练馆产业中C类型乒乓球训练馆占比量最高 B、2016年至2021年该省乒乓球训练馆数量逐年上升 C、2016年至2021年该省乒乓球训练馆新增数量逐年增加 D、2021年B类型乒乓球训练馆比2020年B类型乒乓球训练馆数量多

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10. Farey数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数 $n$ ，将分母小于等于 $n$ 的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上 $\frac{0}{1}$ ，在最后一个分数之后加上 $\frac{1}{1}$ ，这个序列称为 $n$ 级Farey数列，用 ${F_{n}}$ 表示.如 ${F_{3}}$ 的各项为： $\frac{0}{1}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{1}$ ，共有5项.则（）

A、数列 ${F_{n}}$ 都有奇数个项 B、6级Farey数列 ${F_{6}}$ 中，中间项为 $\frac{1}{2}$ C、6级Farey数列 ${F_{6}}$ 共有11项 D、6级Farey数列 ${F_{6}}$ 各项的和为 $\frac{13}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x^{2} - 3 x + 3)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 恰有一个零点 C、当且仅当 $e < m < 3$ 时，方程 $f (x) = m$ 恰有三个实根 D、若当 $x \in (- \infty ， t]$ （ $t \in Z$ ）时，函数 $f (x)$ 的最大值为3，则 $t$ 的最大值为1

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12. 已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为 $V$ ，圆柱的外接球的表面积为 $S$ ，则下列结论正确的是（）

A、圆柱的外接球的表面积 $S$ 有最大值，最大值为 $36 π$ B、圆柱的外接球的表面积 $S$ 有最小值，最小值为 $18 π$ C、圆柱的体积 $V$ 有最大值，最大值为 $8 π$ D、圆柱的体积 $V$ 有最小值，最小值为 $4 π$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $φ =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} (x + 4) ， - 4 < x < 0 \\ 4^{x} - 1 ， x \geq 0 \end{array}$ ，若 $f (f (a)) > 3$ ，则 $a$ 点的取值范围是.

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15. 写出一个与直线 $y = (2 - \sqrt{3}) x$ 和 $y = (2 + \sqrt{3}) x$ 都相切的圆 $C$ 的方程.（答案不唯一）

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16. 在空间直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，动点 $P (x ， y ， z)$ 同时满足下列两个条件：① $0 \leq x ， y ， z \leq 1$ ；② $b \geq 0$ .设所有动点 $P$ 构成的几何体 $Γ$ 的表面积为 $S$ ，体积为 $V$ ，则 $V =$ ， $S =$ .

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列，公差为 $d$ .

(1)、证明数列 ${a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、若 $d = \frac{1}{2}$ ， $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 锐角 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{3} a^{2} s i n B}{4 s i n A}$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，边 $A B$ 的中线 $C D = \sqrt{3}$ ，求 $a$ ， $b$ .

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19. 如图，三棱锥 $M - A B C$ 中， $△ M A C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形， $M B = 4$ ， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，点 $N \notin$ 平面 $A B C$ ，点 $O$ ， $O_{1}$ 分别为线段 $A B$ 、 $M N$ 的中点，且 $O O_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $O O_{1} ⊥ M N$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $M A C$ ；

(2)、证明：四边形 $B C M N$ 为矩形；

(3)、求平面 $M A C$ 和平面 $N A B$ 夹角的余弦值.

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20. 如图，平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $Q$ 为 $x$ 轴上的一个动点，动点 $P$ 满足 $| P O | = | P Q | = \frac{3}{2}$ ，又点 $E$ 满足 $\vec{P E} = \frac{1}{2} \vec{E Q}$ .

(1)、求动点 $E$ 的轨迹 $Γ$ 的方程；

(2)、过曲线 $Γ$ 上的点 $A (x_{0} ， y_{0})$ （ $x_{0} y_{0} \neq 0$ ）的直线 $l$ 与 $x$ ， $y$ 轴的交点分别为 $M$ 和 $N$ ，且 $\vec{N A} = 2 \vec{A M}$ ，过原点 $O$ 的直线与 $l$ 平行，且与曲线 $Γ$ 交于 $B$ 、 $D$ 两点，求 $△ A B D$ 面积的最大值.

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21. 书法是我国及深受我国文化影响过的周边国家和地区特有的一种文字美的艺术表现形式，某大学书法社团在2022级新生中招收新团员，通过楷书、隶书两项书法技能测试进行选拔，每项测试结果只有3种，分别是一等、二等、三等等级，结果为一等得3分、二等得1分、三等得0分.甲同学参加楷书测试结果为一等的概率为 $\frac{1}{2}$ ，二等的概率为 $\frac{1}{3}$ ；参加隶书测试结果为一等的概率为 $\frac{1}{5}$ ，二等的概率为 $\frac{3}{5}$ ；两项测试互不影响两项测试结束后，甲同学得分之和为 $ξ$ .

(1)、求甲同学参加楷书、隶书两项书法技能测试，恰有一次为三等的概率；

(2)、求 $ξ$ 的分布列与数学期望.

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22. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = x e^{x} - a$ ， $g (x) = x l n x - a$ .

(1)、证明：函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 都恰有一个零点；

(2)、设函数 $f (x)$ 的零点为 $x_{1}$ ， $g (x)$ 的零点为 $x_{2}$ ，证明 $x_{1} x_{2} = a$ .

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2020—2021年乒乓球训练馆类型统计表
类型	2020年	2021年
A类型	24%	21%
B类型	36%	38%
C类型	40%	41%