甘肃省张掖市2022-2023学年高三上学期理数第一次诊断考试试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {y | y = 2^{x} + 1}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 3]$ D、 $(- 1 ， + \infty)$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 3 + i$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知直线 $l_{1} ： 2 x - y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： x + a y - 1 = 0$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，点 $P (1 ， 2)$ 到直线 $l_{2}$ 的距离 $d =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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4. 已知 $\sin 2 α = \frac{1}{3} ，$ 则 $\cos^{2} (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 若函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = (| x | + 1) s i n x$ B、 $f (x) = \frac{s i n x}{| x | + 1}$ C、 $f (x) = (| x | + 1) c o s x$ D、 $f (x) = \frac{c o s x}{| x | + 1}$

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6. 已知 $a = l o g_{3} \sqrt{2}$ ， $b = e^{0.1}$ ， $c = l n e^{\frac{\sqrt{3}}{3}}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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7. 把函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 $2$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的一个单调递减区间为（）

A、 $[π ， 2 π]$ B、 $[\frac{π}{3} ， \frac{4 π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{4}]$

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8. 在长为 $10 c m$ 的线段 $A B$ 上任取一点 $P$ ，并以线段 $A P$ 为边作正方形，这个正方形的面积介于 $25 c m^{2}$ 与 $49 c m^{2}$ 之间的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} > 0$ ，前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n}^{2} - S_{n} + S_{n - 1}^{2} - S_{n - 1} - 2 S_{n} S_{n - 1} = 0$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 为（）

A、 $\frac{n (n + 1)}{2}$ B、 $2^{n - 1}$ C、 $2 n^{2} - 1$ D、 $2^{n} - 1$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} + \log_{\frac{1}{2}} (| x | + 1)$ ，则不等式 $f (m - 2) < - \frac{1}{2}$ 的解集为（）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(- \infty ， 1) \cup (3 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 4)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (4 ， + \infty)$

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11. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，且 $\vec{F P} + 3 \vec{F Q} = \vec{0}$ ，则 $△ O P Q (O$ 为坐标原点 $)$ 的面积 $S$ 等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 满足当 $x \leq 0$ 时， $2 f (x - 2) = f (x)$ ，且当 $x \in (- 2 ， 0]$ 时， $f (x) = | x + 1 | - 1$ ；当 $x > 0$ 时， $f (x) = \log_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ).若函数 $f (x)$ 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（）

A、 $(625 ， + \infty)$ B、 $(4 ， 64)$ C、 $(9 ， 625)$ D、 $(9 ， 64)$

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是单位向量，且 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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14. 若 $(1 - 3 x)^{n}$ 展开式中各项系数的和等于64，则展开式中 $x^{2}$ 的系数是.

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15. 设函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + (a + 2) x$ ．若 $f (x)$ 的图像关于原点 $(0 ， 0)$ 对称，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， 3)$ 处的切线方程为．

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16. 正四面体ABCD的棱长为a，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，若截面面积最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $a =$ ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $c \cos B + b \cos C = 3 a \cos B$ .

(1)、求 $\cos B$ 的值；

(2)、若 $c = 2$ ，△ABC的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，求边长b的值.

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $∠ B A D = 9 0^{∘}$ ， $A D = 2 B C$ ， $M$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $C M / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $△ P B D$ 是等边三角形，求二面角 $A - P B - M$ 的余弦值.

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19. 某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额3000元）、专业二等奖学金（奖金额1500元）及专业三等奖学金（奖金额600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.
（Ⅰ）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；
（Ⅱ）若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列 $2 \times 2$ 联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？
（Ⅲ）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和期望.
P(k＞k₀)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k₀
2.71
3.84
6.64
7.88
10.83
$K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 1)$ 上的点 $P (x_{0} ， 1)$ 到其焦点F的距离为 $\frac{5}{4}$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、点 $E (t ， 4)$ 在抛物线C上，过点 $D (0 ， 2)$ 的直线l与抛物线C交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ $(y_{1} > 0 ， y_{2} > 0)$ 两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，OB交于点M，N(O为坐标原点)，求证： $| A M | = | M N |$ .

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - x + l n x (a \in R)$ ．
（Ⅰ）若 $a = - 2$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 4)$ 上有两个不同的极值点，求实数a的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} (1 + 3 {cos}^{2} θ) = 4$ .

(1)、写出直线l的普通方程与曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $M (1 ， 0)$ .若直线l与曲线 $C$ 相交于不同的两点 $A ， B$ ，求 $| A M | + | B M |$ 的值.

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23. 设函数 $f (x) = | x - a | + | 2 x + a + 1 |$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求不等式 $f (x) < 2 | x | + 1$ 的解集；

(2)、若 $a > 0$ ，且关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 2$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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P(k＞k₀)	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
k₀	2.71	3.84	6.64	7.88	10.83