安徽省皖江名校联盟2022-2023学年高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2022-10-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若全集 $U = {x \in Z | (x + 2) (x - 3) \leq 0}$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $∁_{U} A$ 的元素个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 3 x ， x < 0 \\ 3^{x} - λ ， x \geq 0 \end{array}$ ，若 $f [f (- 2)] = 8$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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3. 某渔船由于引擎故障滞留在海上的C位置，一艘快艇负责救援，快艇从A岛出发，沿南偏西30°行驶了300海里到达B位置，发现偏航后及时调整，沿北偏西30°行驶了100海里到达C位置，则A岛与渔船发生故障的C位置间距离为（）

A、 $100 \sqrt{7}$ 海里 B、 $100 \sqrt{5}$ 海里 C、 $100 \sqrt{3}$ 海里 D、 $100 \sqrt{13}$ 海里

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4. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $\frac{1}{4 a} + \frac{1}{9 b} = 1$ ，则当 $a + b$ 取到最小值时， $\frac{a}{b} =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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5. 已知实数 $m ， n \in (- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ ，且m＜n，则下列结论一定正确的是（）

A、 $m^{\frac{5}{3}} > n^{\frac{5}{3}}$ B、 $6^{m} > 5^{n}$ C、 $\frac{n}{m^{2}} < \frac{m}{n^{2}}$ D、 $\frac{1}{2^{n - m}} > 4^{m - n}$

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6. 已知 $φ \in R$ ，则“函数 $f (x) = c o s (4 x + φ - \frac{π}{3})$ 的图像关于原点对称”是“ $φ = - \frac{π}{6} + 2 k π (k \in Z)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是 $T_{1}$ （℃），空气的温度是 $T_{0}$ （℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式 $t = 4 [l o g_{3} (T_{1} - T_{0}) - l o g_{3} (T - T_{0})]$ 得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（）参考数据： $l g 2 \approx 0.301$ ， $l g 3 \approx 0.477$ .

A、3.048分钟 B、4.048分钟 C、5.048分钟 D、6.048分钟

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8. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} - 7 x + 4 - l n x ， x > 0 \\ 2^{x + 4} - 3 ， x \leq 0 \end{array}$ 的零点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $s i n α + \sqrt{3} s i n (α + \frac{π}{2}) + c o s (α - \frac{π}{6}) = 1$ ，则 $c o s (α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 的大致图像如图所示，现有如下说法：① $b > 0$ ；② $c < 0$ ；③ $d < 0$ ；则正确的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 已知 $a = \frac{l n \sqrt{2}}{4}$ ， $b = \frac{1}{e^{2}}$ ， $c = \frac{l n π}{2 π}$ 则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $c < a < b$

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12. 已知函数 $f (x) = 2 | s i n (\frac{x}{3} + \frac{π}{6}) | + 2 | c o s \frac{x}{3} |$ ，则下列说法错误的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $3 π$ B、直线 $x = \frac{π}{2}$ 为函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{11 π}{4} ， \frac{13 π}{4}]$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{7 π}{4} ， - \frac{5 π}{4}]$ 上单调递减

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二、填空题

13. 命题“ $\forall α \in (0 ， \frac{π}{4})$ ， $s i n^{2} α + t a n 2 α > 2$ ”的否定为.

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14. 若函数 $f (x) = 3 x l n x - (3 + a) x$ 在 $[3 ， 5]$ 上单调递增，则实数a的取值范围为.

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15. 下列函数中，既是偶函数，又在 $(2 ， + ∞)$ 上单调递减的是.（填写正确结论的序号）
① $y = 4^{x} + 4^{- x}$ ；② $y = x^{3} + s i n x$ ；③ $y = {\begin{array}{l} l n \frac{1}{x} ， x > 0 \\ l n (- \frac{1}{x}) ， x < 0 \end{array}$ ；④ $y = - x^{2} + 4 x$ .

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16. 已知 $a ， b ， c ， d \in (0 ， + \infty)$ ，且 ${(\frac{1}{4})}^{c} \leq {(\frac{1}{2})}^{2 b} \leq {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4 a}$ ，若 $a + c = b + d$ ，且 $l o g_{4} (\frac{c b + 2 a d}{2 a b}) \geq λ$ ，则实数 $λ$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + 2 f^{'} (0) \cdot x$

(1)、求 $f^{'} (0)$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值.

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18. 已知函数 $f (x) = M s i n (ω x + φ) (M > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，其中 $A (\frac{π}{24} ， 0)$ ， $B (\frac{7 π}{24} ， 0)$ ， $C (\frac{π}{2} ， - \frac{3}{2})$ .

(1)、求 $M$ ， $ω$ ， $φ$ 的值；

(2)、将函数 $f (x)$ 图象的横坐标伸长到原来的3倍后，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的单调区间.

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} | m^{x} - n^{x} | - l o g_{2} | m^{x} + n^{x} |$ ， $m > n > 1$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并给出证明；

(2)、求不等式 $f (x) + 1 < 0$ 的解集.（结果用m，n表示）

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{8 - 4 x}{x^{2} - 2 x + m}$ .

(1)、若 $m = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、若x=0为函数 $f (x)$ 的极值点，且函数 $g (x) = f (x) - λ$ 有两个零点，求实数 $λ$ 的取值范围.

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21. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a c o s B + b c o s A = b s i n (C - \frac{π}{6}) + \frac{a}{2}$ .

(1)、求B的值；

(2)、已知 $△ A B C$ 的外接圆面积为 $\frac{4 π}{3}$ ，若 $S_{△ A B C} \leq λ (a + b + c)$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 l n (x + 2) + a x^{2}$ .

(1)、若 $a = - 2$ ，求函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调区间；

(2)、求证： $\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} \cdot \sum_{i = 1}^{n} \frac{2 i - 1}{i^{2}} < 2$ .

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