高中数学人教A版（2019）必修二 6.4.1-2 平面向量在几何与物理中的应用

试卷更新日期：2022-10-09 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在四边形 $A B C D$ 中，如果 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A D} = 0$ ， $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{D C}$ ，那么四边形 $A B C D$ 的形状是（）

A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、直角梯形

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2. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则 $\vec{E A} \cdot \vec{E B}$ 的最小值是（）

A、－1 B、1 C、－3 D、3

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3. 如下图，在△ $A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{N C}$ ， $P$ 是 $B N$ 上的一点，若 $\overset{\overset{}{\to}}{A P} = m \overset{\overset{}{\to}}{A B} + \frac{2}{9} \overset{\overset{}{\to}}{A C}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、1 D、3

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4. $O$ 为平面上的一定点， $A ， B ， C$ 是平面上不共线的三个动点，动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) ， λ \in [0 ， + \infty)$ ，则 $P$ 的轨迹一定过 $△ A B C$ 的（）

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

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5. 已知作用于A点的三个力F₁=（3，4），F₂=（2，﹣5），F₃=（3，1），且A（1，1），则合力F=F₁+F₂+F₃的终点坐标为（　　）

A、（9，1） B、（1，9） C、（9，0） D、（0，9）

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6. 一质点受到平面上的三个力F₁ ， F₂ ， F₃（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F₁ ， F₂成60°角，且F₁ ， F₂的大小分别为2和4，则F₃的大小为（）

A、6 B、2 C、2 $\sqrt{5}$ D、2 $\sqrt{7}$

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7. 已知三个力 $\vec{f_{1}}$ =(-2，-1)， $\vec{f_{2}}$ =(-3，2)， $\vec{f_{3}}$ =(4，-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力 $\vec{f_{4}}$ ，则 $\vec{f_{4}}$ 等于（　　）

A、（﹣1，﹣2） B、（1，﹣2） C、（﹣1，2） D、（1，2）

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8. 渭河某处南北两岸平行，如图所示.某艘游船从南岸码头 $A$ 出发北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为 $| v_{1} | = 10 km / h$ ，东水流速度的大小为 $| v_{2} | = 6 km / h$ .设速度 $v_{1}$ 与速度 $v_{2}$ 的夹角为 $120 °$ ，北岸的点 $A^{'}$ 在码头 $A$ 的正北方向.那么该游船航行到达北岸的位置应（）

A、在 $A^{'}$ 东侧 B、在 $A^{'}$ 西侧 C、恰好与 $A^{'}$ 重合 D、无法确定

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9. 一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 $\sqrt{3}$ h，则船实际航程为（）

A、2 $\sqrt{15}$ km B、6 km C、2 $\sqrt{21}$ km D、8 km

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10.
如图，一条河的两岸平行，河的宽度 $d = 600$ m，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知 $|A B| = 1$ km，水流速度为2km/h，若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为( )

A、8km/h B、 $6 \sqrt{2}$ km/h C、 $2 \sqrt{34}$ km/h D、 $10$ km/h

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11. 下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知 $A B = 8 m$ ， $B O = 16 m$ ， $P O = 12 m$ ， $\vec{P B} \cdot \vec{P C} = 0$ .根据物理学知识得 $\frac{1}{2} (\vec{P A} + \vec{P B}) + \frac{1}{2} (\vec{P C} + \vec{P D}) = 2 \vec{P O}$ ，则 $C D =$ （）

A、28m B、20m C、31m D、22m

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12. 小船以10 $\sqrt{3}$ km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h．则小船实际航行速度的大小为（　　）

A、20 $\sqrt{2}$ km/h B、20km/h C、10 $\sqrt{2}$ km/h D、10km/h

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二、填空题

13. P是边长为1的等边三角形ABC的边BC上一点，且 $\vec{C P} = \frac{1}{3} \vec{C B}$ ，则 $\vec{A P} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C})$ 的值为.

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14. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $P$ 为 $D C$ 边上的动点，设向量 $\overset{⇀}{A C} = λ \overset{⇀}{D B} + μ \overset{⇀}{A P}$ ，则 $λ + μ$ 的最大值为．

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15.
如图，用两条绳提起一个物体处于平衡状态，此时每条绳用力5N，且两条绳的夹角是120°，则物体G的重量是 N．

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三、解答题

16. 已知两恒力 $\vec{F_{1}} = (3 ， 4)$ ， $\vec{F_{2}} = (6 ， - 5)$ 作用于同一质点，使之由点 $A (20 ， 15)$ 移动到点 $B (7 ， 0)$ .

(1)、求力 $\vec{F_{1}}$ 、 $\vec{F_{2}}$ 分别对质点所做的功；

(2)、求力 $\vec{F_{1}}$ 、 $\vec{F_{2}}$ 的合力 $\vec{F}$ 对质点所做的功.

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