云南省昆明市官渡区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-10-09 类型：期末考试

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一、填空题

1. 若关于x的方程 $2 x^{m - 2} - m x + 1 = 0$ 是一元二次方程，则m的值为．

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2. 已知点A（a ， ﹣2）与点B（3，b）关于原点对称，则a+b的值等于．

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3. 如图是一幅总面积为3m²的长方形世界杯宣传画，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为m² ．

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4. 如图是昆明西山的著名景点升庵亭，它的地基是半径为3m的正六边形，则正六边形的周长为．

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5. 一个直角三角形的两边长分别为 $6 c m$ 和 $8 c m$ ，则这个直角三角形的外接圆直径为．

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6. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2}$ 的图象如图所示，已知A点坐标 $(1 ， 1)$ ，过点A作 $A A_{1} ∥ x$ 轴交抛物线于点 $A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} A_{2} ∥ O A$ 交抛物线于点 $A_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作 $A_{2} A_{3} ∥ x$ 轴交抛物线于点 $A_{3}$ ，过点 $A_{3}$ 作 $A_{3} A_{4} ∥ O A$ 交抛物线于点 $A_{4}$ ， …，依次进行下去，则点 $A_{2022}$ 的坐标为．

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二、单选题

7. 昆明市作为全国文明城市，倡导市民：“垃圾分类，人人参与”．下列四个图形是生活中常见的垃圾分类标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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8. 下列事件，属于不可能事件的是（　　）

A、旭日东升 B、某个数的相反数等于它本身 C、任意一个五边形的外角和等于540° D、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯

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9. 把函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）

A、 $y = x^{2} + 2$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} + 1$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} + 2$ D、 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$

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10. 关于x的一元二次方程 $m x^{2} + x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A、 $m > - \frac{1}{4}$ B、 $m \geq \frac{1}{4}$ C、 $m > - \frac{1}{4}$ 且 $m \neq 0$ D、 $m \geq - \frac{1}{4}$ 且 $m \neq 0$

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11. 对于实数a、b，定义新运算“&”如下： $a & b = a^{2} - a b$ ．例如： $5 & 3 = 5^{2} - 5 \times 3 = 10$ ，若 $(x + 1) & 2 = 3$ ，则x的值为（　　）

A、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$ B、 $x_{1} = x_{2} = - 2$ C、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 1$ D、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 4$

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12. 我国疫情防控工作已进入一个积极向上的阶段——“全民常态化”，佩戴口罩仍然是切断病毒传播的主要措施．某药店10月份销售口罩500包，12月份销售口罩980包．设该店11、12月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A、 $500 {(x - 1)}^{2} = 980$ B、 $980 {(x - 1)}^{2} = 500$ C、 $500 {(x + 1)}^{2} = 980$ D、 $980 {(x + 1)}^{2} = 500$

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13. 如图，从一块直径为4的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 $90 °$ 的扇形 $C A B$ ，且点C，A，B都在 $⊙ O$ 上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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14. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的一部分，图象过点 $A (1 ， 0)$ ，与y轴交于点C，对称轴为 $x = - 1$ ．给出五个结论：① $b^{2} > 4 a c$ ；② $2 a + b = 0$ ；③ $a - b + c < 0$ ；④若点 $B (- \frac{3}{2} ， y_{1})$ ， $C (- \frac{1}{2} ， y_{2})$ 为函数图象上的两点，则 $y_{1} > y_{2}$ ；⑤若 $O C = 3$ ，点P是抛物线对称轴上一点，则 $△ A P C$ 周长的最小值为 $3 \sqrt{2} + \sqrt{10}$ ，其中正确结论的个数是（　　）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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三、解答题

15. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x = 1$

(2)、 ${(x + 1)}^{2} = 3 x + 3$

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16. 如图，已知在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 2 ， 4)$ ， $B (- 1 ， 1)$ ， $C (- 4 ， 3)$ ．
( 1 )画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $C_{1}$ 的坐标；
( 2 )画出将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $B_{1}$ 按顺时针方向旋转90°所得的 $△ A_{2} B_{1} C_{2}$ ；
( 3 )求在（2）的旋转过程中，点 $A_{1}$ 旋转到点 $A_{2}$ 的过程中经过路径的长度（结果保留 $π$ ）．

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17. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ F + ∠ E B C = 180 °$ ，求证： $E F ∥ A D$ ．

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18. 随着COP15的召开，昆明街头的100组立体花坛受到了广大市民的关注．某班宣传委员小李去金马坊和会展中心拍了2张大小相同的“花仙子”照片，并在两张照片的四周及中间用宽度相同的花边做如图的装饰（阴影部分），制成一幅宣传画，贴在班级文化墙上．每张照片长为 $30 c m$ ，宽为 $20 c m$ ，且整幅宣传画（含花边）的面积是 $2250 c m^{2}$ ，求花边的宽度是多少厘米？

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19. 把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕 $A B = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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20. 为引领青少年自觉接受优秀传统文化的熏陶，我区大力开展非遗进校园等文化活动．某校今年艺术节安排了以下4个表演节目，分别是A舞龙舞狮，B阿乌演奏，C滇剧，D花灯，初三年级抽签决定表演节目．抽签时，将A、B、C、D这四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片上，洗匀后正面向下放在桌面上，九（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，再由九（2）班班长从剩余卡片中随机抽取一张卡片，进行排练．

(1)、九（1）班抽中A舞龙舞狮的概率是；

(2)、试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出两个班恰好抽中B阿乌演奏和C滇剧的概率．

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21. 为了助农增收，推动乡村振兴，某网店出售“碱水”面条．面条进价为每袋40元，当售价为每袋60元时，每月可销售300袋．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调研反映，销售单价每降1元，则每月可多销售30袋．该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．设当每袋面条的售价降了x元时，每月的销售量为y袋．

(1)、求出y与x的函数关系式；

(2)、设该网店捐款后每月利润为w元，则当每袋面条降价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

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22. 如图，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点为B，点D，F是 $\overset{⌢}{A D B}$ 的三等分点， $B A$ ， $C D$ 的延长线相交于点E．

(1)、求证：DC是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为1，求阴影部分面积．

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23. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点 $A (- 5 ， 0)$ 和点 $B (1 ， 0)$ ，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图①，点 $E (x ， y)$ 为抛物线上一点，且 $- 5 < x < - 2$ ，过点E作 $E F ∥ x$ 轴，交抛物线的对称轴于点F，作 $E H ⊥ x$ 轴于点H，得到矩形 $E H D F$ ．求矩形 $E H D F$ 的周长的最大值；

(3)、如图②，点P是y轴上的一点，是否存在点P，使以点A、C、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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