安徽省宣城市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-10-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知点A（1，y₁），B（2，y₂）在抛物线y=（x+1）²+2上，则下列结论正确的是（）．

A、 $2 > y_{1} > y_{2}$ B、 $2 > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{2} > 2$ D、 $y_{2} > y_{1} > 2$

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2. 下列各组的四条线段 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 是成比例线段的是（）

A、 $a = 4$ ， $b = 6$ ， $c = 5$ ， $d = 10$ B、 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ ， $d = 4$ C、 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 3$ ， $c = 2$ ， $d = \sqrt{3}$ D、 $a = 2$ ， $b = \sqrt{5}$ ， $c = 2 \sqrt{3}$ ， $d = \sqrt{15}$

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3. 函数y＝ $\frac{k + 1}{x}$ 的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（　　）

A、﹣2 B、﹣1 C、0 D、1

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4. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（）

A、 $\frac{4}{\sin α}$ 米 B、4sinα米 C、 $\frac{4}{\cos α}$ 米 D、4cosα米

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5. 以下有关抛物线 $y = - x^{2} + 4 x - 3$ 的结论，正确的是（）．

A、开口向上 B、与y轴的交点坐标是 $(0 ， 3)$ C、与x轴只有一个交点 D、顶点坐标是 $(2 ， 1)$

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6. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. △ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（）

A、sinα=cosα B、tanC=2 C、sinβ=cosβ D、tanα=1

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8. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）

A、y＝x²＋a B、y＝a（1＋x）² C、y＝（1﹣x）²＋a D、y＝a（1﹣x）²

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9. 如图，乐器上的一根弦AB＝80cm ，两个端点A ， B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C ， D之间的距离为（）

A、（40 $\sqrt{5}$ ﹣40）cm B、（80 $\sqrt{5}$ ﹣40）cm C、（120﹣40 $\sqrt{5}$ ）cm D、（80 $\sqrt{5}$ ﹣160）cm

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10. 正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为（）

A、8 B、6 C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 若 $2 x - 5 y = 0$ ，且 $x y \neq 0$ ，则 $\frac{x + y}{y} =$ ．

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12. 如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝外斜坡的坡比 $i = 1 ： 1$ ，两个坡角的和为75°，则坝内斜坡的坡比是．

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13. 如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过▱OABC的顶点C，则k= ．

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14. 如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，AC与DF交于点N ．

(1)、当AB＝4时，AN＝．

(2)、S_△ANF：S_{四边形CNFB}＝．（S表示面积）

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三、解答题

15. 计算：tan45°+4cos30°sin45° $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ tan60°．

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16. 已知线段a，b，c满足 $\frac{a}{3} = \frac{b}{2} = \frac{c}{6}$ ，且 $a + 2 b + c = 26$ ．求线段a，b，c的长．

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17. 如图，一次函数y₁=kx+b的图象与反比性函数y₂= $\frac{m}{x}$ 的图象交于A(2，1)、B（-1，n）两点．

(1)、利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、根据图象直接写出使y₁ $<$ y₂的自变量x取值范围．

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18. 如图，在 $6 \times 8$ 的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和 $△ A B C$ 的顶点均为格点．

(1)、以O为位似中心，在网格图中作 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 与 $△ A B C$ 位似，且位似比为 $1 ： 2$ ；

(2)、写出点 $A^{'}$ 、点 $B^{'}$ 、点 $C^{'}$ 的坐标．

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19. 已知：如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $E$ 为直角边 $A C$ 的中点，射线 $E D$ 交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、若 $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，求 $B D$ 长；

(2)、求证： $A B \cdot A F = A C \cdot DF$ ．

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20. 2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C₁：y＝﹣ $\frac{1}{12}$ x²+ $\frac{7}{6}$ x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C₂：y＝﹣ $\frac{1}{8}$ x²+bx+c运动．

(1)、当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C₂的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；

(2)、在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？

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21. 如图1，为放置在水平桌面 $l$ 上的台灯，底座的高 $A B$ 为 $5 c m$ .长度均为 $20 c m$ 的连杆 $B C$ ， $C D$ 与 $A B$ 始终在同一水平面上.

(1)、旋转连杆 $B C$ ， $C D$ ，使 $∠ B C D$ 成平角， $∠ A B C = 150 °$ ，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度 $D E$ .

(2)、将（1）中的连杆 $C D$ 绕点C逆时针旋转，使 $∠ B C D = 165 °$ ，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加了还是减少？增加或减少了多少？（精确到 $0.1 c m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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22. 2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．

(1)、求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

(2)、当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？

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23. 如图1，在四边形ABCD中， $∠ A B C = ∠ B C D$ ，点E在边BC上，且 $A E / / C D$ ， $D E / / A B$ ，作 $C F / / A D$ 交线段AE于点F，连接BF．

(1)、求证： $△ A B F ≌ △ E A D$

(2)、如图2，若 $A B = 9$ ， $C D = 5$ ， $∠ E C F = ∠ A E D$ ，求BE的长；

(3)、如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求 $\frac{B E}{E C}$ 的值．

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