安徽省宿州市埇桥区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-10-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中 $a = 3 c m$ ， $b = 2 c m$ ， $c = 6 c m$ ，则线段d的长度是（）

A、 $4 c m$ B、 $9 c m$ C、 $6 c m$ D、 $5 c m$

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2. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”.下列函数的图象中不存在“好点”的是（）

A、 $y = - x$ B、 $y = x + 2$ C、 $y = \frac{2}{x}$ D、 $y = x^{2} - 2 x$

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3. 如图，在平面直角坐标中，点P的坐标为(3，4)，则射线OP与x轴正方向所夹锐角a的余弦值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ 与正方形ABCD的边长相等．在正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ 绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是2，则AD的长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积， $S_{主} = x^{2} + 3 x$ ， $S_{左} = x^{2} + x$ ，则 $S_{俯} =$ （）

A、 $x^{2} + 4 x + 3$ B、 $x^{2} + 3 x + 2$ C、 $x^{2} + 2 x + 1$ D、 $2 x^{2} + 4 x$

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6. 已知 $x = 1$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + m - 2 = 0$ 的一个根，则该方程的另一个根为（）

A、 $x = - 4$ B、 $x = 4$ C、 $x = - 1$ D、 $x = - 2$

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7. 已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A C$ ， $B D$ 相交于点O，下列结论错误的是（）

A、 $O A = O C$ ， $O B = O D$ B、当 $A B = C D$ 时，四边形 $A B C D$ 是菱形 C、当 $∠ A B C = 90 °$ 时，四边形 $A B C D$ 是矩形 D、当 $A C = B D$ 且 $A C ⊥ B D$ 时，四边形 $A B C D$ 是正方形

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8. 关于反比例函数 $y = - \frac{1}{x}$ 的图象，下列说法中，错误的是（）

A、点(1，-1)在它的图象上 B、图象位于第二、四象限 C、图象的两个分支关于原点对称 D、x的值越大，图象越接近x轴

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9. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，下列结论：① $a c < 0$ ；② $3 a + c = 0$ ；③ $4 a c - b^{2} < 0$ ；④当 $x > - 1$ 时，y随x的增大而减小，其中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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10. 如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB =∠AED =90°，∠ABC=∠ADE ，连接BD、CE ，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（）

A、5︰3 B、4︰3 C、 $\sqrt{5}$ ︰2 D、2︰ $\sqrt{3}$

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二、填空题

11. 已知： $t a n (a - 30 °) = 1$ ，则锐角 $∠ a$ 的度数为．

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12. 若关于x的一元二次方程 ${(x + 2)}^{2} = n$ 有实数根，则n的取值范围是.

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13. 如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5m，AC在地面的影长CM＝4.5m，则窗户的高度为m．

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14. 如图，将矩形纸片 $A B C D$ 沿过点C的直线折叠，使得点B落在矩形内点 $B^{'}$ 处，折痕为 $C E$ ．

(1)、点 $B^{'}$ 恰好为 $A C$ 中点时， $\frac{A E}{B E}$ 的值为．

(2)、点 $B^{'}$ 在 $A C$ 上且D、 $B^{'}$ 、E在同一条直线上时， $\frac{A E}{B E}$ 的值为．

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三、解答题

15. 计算： $4 s i n 60 ° - 2 c o s^{2} 45 ° - | 1 - \sqrt{3} |$

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16. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点A(2，3)．

(1)、求这个函数的解析式；

(2)、请判断点B(1，6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．

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17. 已知，平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的位置如图所示，点A、B、C的坐标分别为 $(1 ， 0)$ 、 $(4 ， - 1)$ 、 $(3 ， 2)$ ． $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 是以点P为位似中心的位似图形；

(1)、请画出点P的位置，井写出点P的坐标；

(2)、请以点O为位似中心在y轴左侧，画出 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，使相似比为 $1 ： 1$ ，若点 $M (a ， b)$ 为 $△ A B C$ 内一点，则点M在 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 内的对应点的坐标为．

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18. 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

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19. 已知， $A D$ 为 $△ A B C$ 的中线， $A E$ 是 $△ A B D$ 的中线， $A B = B D$ ．

(1)、判断 $△ A B E$ 与 $△ C B A$ 是否相似，并说明理由；

(2)、求证： $A C = 2 A E$ ．

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20. 某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°.又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度.（注：点A，B，C，D都在同一平面上.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

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21. 二次函数 $y = - x^{2} + (m - 1) x + m$ 的图象与y轴交于 $(0 ， 3)$ 点．

(1)、求出m的值，并求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；

(2)、x取什么值时，抛物线在x轴上方？

(3)、将该抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，请直接写出所得新抛物线的表达式．

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22. 因疫情防控需要，消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

(1)、求y与x之间的函数表达式；

(2)、每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润=销售价-进价）

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23. 已知：在矩形 $A B C D$ 中，连接 $A C$ ，过点D作 $D F ⊥ A C$ ，交 $A C$ 于点E，交 $A B$ 于点F．

(1)、如图1，若 $t a n ∠ A C D = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
①求证： $A F = B F$ ；
②连接 $B E$ ，求证： $C D = \sqrt{2} B E$ ．

(2)、如图2，若 $A F^{2} = A B \cdot B F$ ，求 $c o s ∠ F D C$ 的值．

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