安徽省亳州市利辛县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-10-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = - 2 {(x + 3)}^{2} + 1$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(3 ， 1)$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $(- 2 ， 3)$

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2. 已知双曲线经过点 $(2 ， 5)$ ，则它还经过的点是（）

A、 $(5 ， - 2)$ B、 $(4 ， 6)$ C、 $(3 ， - 7)$ D、 $(- 1 ， - 10)$

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3. 下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（）

A、1，2，3，4 B、1，2，3，6 C、2，3，4，5 D、1，3，4，7

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4. 已知 $t a n α = 1$ ，则锐角 $α$ 的取值是（）

A、 $α = 60 °$ B、 $α = 45 °$ C、 $α = 30 °$ D、 $α = 75 °$

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5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD是△ABC的高，则tan∠BCD的值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 已知，直线y=−2x+8与双曲线 $y = - \frac{4}{x}$ 相交于点(m，n)，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的值等于（）

A、-2 B、2 C、－4 D、4

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7. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上， $D E ∥ B C$ ，且BC＝6， $S_{四边形 B C E D} = 8 S_{△ A D E}$ ，则DE的长等于（）

A、1.5 B、2 C、2.5 D、3

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8. 如图是赵师傅利用一块三角形的白铁皮剪成一块正方形铁皮备用．在△ABC中，BC＝120，高AD＝80，正方形EFGH的边GH在边BC上，E，F分别在边AB，AC上，则正方形EFGH的边长为（）

A、36 B、42 C、48 D、54

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9. 如图，将两块直角三角板△ABC与△BCD按如图方式放置，∠BCA＝45°，∠D＝30°，两条斜边相交于点O，则△AOB与△COD的面积比为（）

A、 $1 ： \sqrt{2}$ B、1：2 C、 $1 ： \sqrt{3}$ D、1：3

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10. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = m x + n$ 如图所示，则方程 $a x^{2} + (b - m) x + (c - n) = 0$ 的解为（）

A、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 3$ C、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = - 3$

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二、填空题

11. 计算： $6 t a n 30 ° - 2 c o s 30 ° =$ ．

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12. 二次函数 $y = - x^{2} + 6 x - 4$ 中，当 $- 4 \leq x \leq 4$ 时，y的最小值是．

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13. 如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，作EF∥AB，交BD于点F，已知AB＝1，CD＝2，则EF的长度为．

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14. 在平面直角坐标系xOy中，直线 $y = 2 x + 4$ 上有一点P到原点O距离最近．则点P坐标为； OP的长度为．

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三、解答题

15. 已知一条抛物线顶点为 $(2 ， 5)$ ，且经过点 $(3 ， 3)$ ，求该抛物线的解析式．

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16. 已知 $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}$ ，且 $a + 2 b - c = 12$ ，求 $3 a - b + c$ 的值．

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17. 已知点 $(a ， 3)$ 在双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 上．

(1)、求a的值；

(2)、当 $1 \leq x \leq 3$ 时，求y的取值范围．

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18. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 中，x与y的部分对应值如下表所示：
x
…
－4
－3
－1
0
…
y
…
m
0
0
－3
…

(1)、表中的m＝；

(2)、求此二次函数的最大值．

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19. 如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，点B的坐标为 $(8 ， 4)$ ．

(1)、求此菱形的边长；

(2)、若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点A，并且与BC边相交于点D，求点D的坐标．

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20. 已知，如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，点P在△ABC内部，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA．求证：

(1)、 $P B^{2} = P A \cdot P C$ ；

(2)、 $S_{△ P A B} = 4 S_{△ P B C}$ ．

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21. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．

(1)、求 $s i n^{2} A + s i n^{2} B$ 的值；

(2)、填空：当 $α$ 为锐角时， $s i n^{2} α + s i n^{2} (90 ° - α) =$ ；

(3)、利用上述规律，求下列式子的值： $s i n^{2} 1 ° + s i n^{2} 2 ° + s i n^{2} 3 ° + \cdot \cdot \cdot + s i n^{2} 89 °$ ．

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22. 同学们已经学习了《解直角三角形》的相关知识，掌握了利用锐角三角函数的定义来解决直角三角形的问题，还掌握了通过作高来解决斜三角形（即锐角三角形与钝角三角形）的问题以及相关的实际应用问题．下面请同学们利用这些学习经验，应用类比的方法来解决下面的新问题．
定义：如图1，在△ABC中，AB＝AC，我们称它的腰与底的长度之比为顶角∠A的余对（csdA），记作 $c s d A = \frac{A B}{B C}$ ．

(1)、填空：csd60°＝；csd90°＝；csd120°＝；

(2)、如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°， $c o s A = \frac{4}{5}$ ，求csdA的值．

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23. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D，E分别在边BC，AC上（点D不与端点B，C重合），并且满足∠ADE＝∠B．

(1)、求证：△ABD∽△DCE；

(2)、设BD＝x，CE＝y，请求出当x取何值时，y取最大值？y的最大值是多少？

(3)、当△ADE是等腰三角形时，求BD的长．

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x	…	－4	－3	－1	0	…
y	…	m	0	0	－3	…