安徽省亳州市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-10-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如果 $\frac{a}{b} = \frac{1}{4}$ ，那么 $\frac{a + b}{b}$ 的值等于（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{6}{5}$

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2. 若点A（a，b）在双曲线 $y = - \frac{3}{x}$ 上．则代数式2ab＋3的值为（）

A、－3 B、3 C、－6 D、－9

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3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，则sinA的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 如图，在Rt△ABC中，若 $t a n A = \frac{1}{2}$ ， AB＝10，则△ABC的面积为（）

A、20 B、15 C、 $3 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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5. 抛物线 $y = 4 x^{2}$ 抛物线 $y = - 4 {(x + 2)}^{2}$ 的相同点是（）

A、顶点相同 B、对称轴相同 C、开口方向相同 D、顶点都在x轴上

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6. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，连接DE，下列条件不能使得△ABC与△ADE相似的是（）

A、∠ADE＝∠ACB B、DE∥BC C、 $\frac{A E}{D E} = \frac{A B}{B C}$ D、 $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$

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7. 双曲线C₁： $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 和C₂： $y = - \frac{1}{x}$ 的图象如图所示，点A是C₁上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B，点C，AB与C₂交于点D，若△AOD的面积为2，则k的值（）

A、3 B、5 C、－3 D、－5

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8. 如图，AD∥EF∥BC，点G是EF的中点， $\frac{E F}{B C} = \frac{3}{5}$ ，若EF＝6，则AD的长为（）

A、6 B、 $\frac{13}{2}$ C、7 D、 $\frac{15}{2}$

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9. 如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列相似三角形：①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．成立的有（）

A、1对 B、2对 C、3对 D、4对

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10. $y = a x^{2} - 3 a x - 4 a (a < 0)$ 是y关于x的二次函数，如图是该抛物线的一部分，设抛物线与x轴另一个交点为C，点P是其对称轴上一点，下列结论正确的是（）

A、当a＝－2时，关于x的方程 $a x^{2} - 3 a x - 4 a = 0$ 才有实数解 B、当a的值确定时，抛物线的对称轴才能确定 C、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，△AOB与△BOC相似 D、当a＝－1时，PA＋PB的最小值是4

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二、填空题

11. 抛物线 $y = - {(x + 2)}^{2}$ 关于y轴对称的抛物线的表达式为．

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12. 线段MN＝2m，点P是线段MN的黄金分割点，若PM＞PN，则PM的长为．（用含m的代数式表示）

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13. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形中较大的锐角度数为α．若大正方形的面积为10，小正方形的面积是4，则 $s i n α - c o s α$ 的值为．

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14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是边AB上的一点，MN是线段CP的垂直平分线且分别交AC，BC于点M，N．

(1)、若MN∥AB，则MN＝；

(2)、若MN经过Rt△ABC的某一顶点，则MN＝．

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三、解答题

15. 计算： $s i n^{2} 45 ° - t a n 60 ° \cdot c o s 30 ° + (s i n^{2} 45 ° - 1)^{0}$

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16. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都位于网格点上，按要求完成下列任务．
( 1 )画出△ABC关于y轴的轴对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
( 2 )以点O为位似中心，在第一象限中画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，使得 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 与△ABC位似，且位似比为3∶1．

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17. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的x与y的部分对应值如下表：
x
－2
－1
0
1
n
y
m
3
5
3
－27

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、求m，n的值．

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18. 如图，一次函数 $y = x + 3$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第二象限的图象交于点A（－1，a），B（－2，b）两点．

(1)、求k的值及点B的坐标；

(2)、直接写出不等式 $x + 3 \geq \frac{k}{x}$ 的解集为．

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19. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝24，点P，D分别在边AB，BC上，且AD²＝AP·AB．

(1)、证明：△PAD∽△DAB；

(2)、求∠ADP的正弦值．

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20. 某裁缝店在线上以45元套的价格接了一批制作篮球服的业务，该裁缝店每天制作篮球服的数量x（套）满足20≤x≤50，且每件篮球服制作成本y（元）与每天制作篮球服的数量x（套）之间的函数关系满足：y＝－ $\frac{1}{2}$ x＋50，若该裁缝店每天消耗的其他成本为200元，每天的利润为w元．

(1)、求w与x之间的函数表达式；

(2)、每天生产多少套时，每天的利润w有最大值？最大利润是多少？

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21. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1： $\sqrt{3}$ ， AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73，sin53°≈ $\frac{4}{5}$ ， cos53°≈ $\frac{3}{5}$ ， tan53°≈ $\frac{4}{3}$ ）

(1)、求点B距水平地面AE的高度；

(2)、求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）

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22. 已知二次函数 $y = a x^{2} - b x - 3 (a \neq 0)$ 的图象经过点（－1，0），（3，0）．

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、当－3≤x≤2时，求y的最大值与最小值的差；

(3)、一次函数 $y = (m - 2) x + m - 2$ 的图象与二次函数 $y = a x^{2} - b x - 3 (a \neq 0)$ 的图象的交点坐标是（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜0≤x₂时，求函数w＝y₁－y₂的最大值．

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23. △ABC和△DEF都是等腰直角三角形，点D是BC的中点，∠BAC＝∠EDF＝90°，点E，F分别在BA和AC的延长线上，BC的延长线交EF于点G，AF与DE交于点H．

(1)、如图1，证明：FC·FH＝FG·FE；

(2)、如图2，若AD＝AE，求tan∠AEF的值；

(3)、如图3，若点H是DE的中点，求 $\frac{C H}{E G}$ 的值．

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x	－2	－1	0	1	n
y	m	3	5	3	－27