安徽省安庆市潜山市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-10-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列交通标识中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = - 2$ ，则 $\frac{a - c + 5 e}{b - d + 5 f}$ ＝（　　）

A、﹣2 B、2 C、﹣ $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 若点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′恰好在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）的图象上，则k的值为（　　）

A、﹣5 B、﹣1 C、6 D、﹣6

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4. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在网格线的交点上，以AB为直径的⊙O经过点C，若点D在⊙O上，则tan∠ADC＝（　　）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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5. 在△ABC中，AC＝BC＝2 $\sqrt{2}$ ， AB＝4，点O是△ABC的内心，则△ABC的内切圆半径为（　　）

A、2 B、4﹣2 $\sqrt{2}$ C、2﹣ $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{2}$ ﹣2

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6. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝28°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D＝（　　）

A、30° B、56° C、28° D、34°

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7. 已知抛物线y＝（x﹣a）²+x﹣3a+1与直线y＝a（a是常数，且a≠0）有两个不同的交点，且抛物线的对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（　　）

A、a＞ $\frac{1}{4}$ B、a＞ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ ＜a＜ $\frac{1}{2}$ D、﹣ $\frac{1}{2}$ ＜a＜﹣ $\frac{1}{4}$

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8. 如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC＝（　　）

A、1：2 B、1：3 C、1：4 D、2：5

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9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{7}$ C、6 D、8

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10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　）

A、6 B、 $\sqrt{73}$ ﹣3 C、 $2 \sqrt{13}$ ﹣4 D、 $4 \sqrt{13}$ ﹣4

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二、填空题

11. sin30°+cos60°＝．

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12. 在平面直角坐标系中有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点， $A (1, 3)$ ， $B (3, 3)$ ， $C (5, 1)$ ．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为．

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13. 如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax²＋bx，小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶到6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需分钟.

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14. 如图，△ABC中，过点B作BD⊥AB，交AC于点D，且AD：CD＝4：3，∠ABC＝150°．

(1)、BD：BC＝；

(2)、若AB＝4，则△ABC的面积是．

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三、解答题

15. 已知抛物线的顶点是（﹣3，2），且经过点（4，﹣5），试确定抛物线的函数表达式．

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16. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点．

(1)、若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；

(2)、若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围．

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17. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，点O是格点．
( 1 )以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A₁B₁C₁ ，使△A₁B₁C₁与△ABC在点O的同侧，△A₁B₁C₁与△ABC的位似比为2：1；
( 2 )将（1）中的△A₁B₁C₁绕点C₁逆时针旋转90°得到△A₂B₂C₁ ，画出△A₂B₂C₁ ．

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18. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端 $A B = 18$ 分米，C为 $A B$ 中点，D为拱门最高点，圆心O在线段 $C D$ 上， $C D = 27$ 分米，求拱门所在圆的半径．

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19. 如图，在高度为100米的小山上竖直建有一座铁塔，小明为测得铁塔的高度，先在山脚C处测得铁塔底部B的仰角为30°，后沿坡度i＝1： $2 \sqrt{3}$ 的山坡向上行走 $10 \sqrt{13}$ 米到达点D处，在点D处测得铁塔顶部A的仰角为30°，求铁塔AB的高度．

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20. 如图，点A，B是平面直角坐标系中的两点，连接OA，OB，OA＝5，OB＝10，且OA⊥OB，若点A的横坐标是﹣4，反比例函数y＝ $\frac{k_{2}}{x}$ 的图象经过点B，反比例函数y＝ $\frac{k_{1}}{x}$ 的图象经过点A．

(1)、求k₁ ， k₂的值；

(2)、若点C在线段AB上，且S_△OBC＝ $\frac{1}{2}$ S_△OAB ，求点C的坐标．

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21. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝ $\frac{10}{3}$ ，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径作⊙O交BC于点D．

(1)、求证：AC是⊙O的切线；

(2)、求CD的长．

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22. 探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，三个内角A、B、C所对的边长分别是a，b、c，由于sinA= $\frac{a}{c}$ ， sinB= $\frac{b}{c}$ (已知sin90°=1)．可以但到 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$ ，即在直角三角形中，每条边和它所对角的正弦值的比值相等．

(1)、拓展：如图2所示，在锐角三角形ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a，b、c，AD⊥BC，BH⊥AC，试说明在锐角三角形中也有相同的结论．

(2)、运用：请你运用拓展中的结论，完成下题．如图3，在某海域一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/小时的速度按北偏东32°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西76°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB．(计算结果保留一位小数)(参考数据：sin46°≈0.72，sin32°≈0.53，sin62°≈0.88，sin76°≈0.97)

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23. 如图，△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边△BCD，延长AC到E，使CE＝BA，连接DE．

(1)、△DCE可以由△DBA经过怎样的旋转得到，并说明理由；

(2)、记BC，AD相交于点F．
①求证：∠DCF＝∠DAE；
②已知等边△BCD的边长为6，AC+AB＝8，求AF的长．

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