2022~2023学年第一学期高一年级10月第一次阶段性检测

试卷更新日期：2022-10-05 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 1}$ ， $B = {x | 0 \leq x \leq 3}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x < 1}$ B、 ${x | - 2 < x \leq 3}$ C、 ${x | 1 < x \leq 3}$ D、 ${x | 0 < x < 1}$

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2. 集合 ${a, b}$ 的真子集共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 设关于 $x$ 的不等式： $x^{2} - a x - 2 > 0$ 解集为 $M$ ，若 $2 \in M$ ， $\sqrt{3} \notin M$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, \frac{\sqrt{3}}{3})$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$

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4. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ ，集合 $A = {2, 3, 5, 7}$ ， $B = {1, 2, 4, 6}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${2, 5, 7}$ B、 ${3, 5, 7}$ C、 ${3}$ D、 ${5, 7}$

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5. 直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 (a > 0, b > 0)$ 经过点（3，2），则 $2 a + 3 b$ 的最小值为（）

A、12 B、36 C、24 D、48

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6. 已知 $a > 0, b > 0$ ，并且 $\frac{1}{a}, \frac{1}{2}, \frac{1}{b}$ 成等差数列，则 $a + 4 b$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、5 D、9

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7. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{x + 1}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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8. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $z > 0$ ，且 $\frac{4}{y + z} + \frac{1}{x} = 1$ ，则 $x + y + z$ 的最小值为（）

A、8 B、9 C、12 D、16

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二、多选题

9. 命题“ $\forall x \in [1, 3], x^{2} - a \leq 0$ ”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）

A、 $a > 9$ B、 $a \leq 9$ C、 $a \geq 10$ D、 $a \leq 10$

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10. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $(0 ， 1)$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、 $c > 0$ C、 $a + 2 b + 4 c < 0$ D、不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集为 $(- \infty ， 1)$

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11. 设 $a$ ， $b$ ， $c \in R$ ，且 $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $\frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$ C、 $a - c > b - c$ D、 $e^{- a} < e^{- b}$

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12. 下列函数中，最小值为 $2 \sqrt{2}$ 的有（）

A、 $y = x + \frac{2}{x} (x > 0)$ B、 $y = \sin x + \frac{2}{\sin x} (0 < x < π)$ C、 $y = e^{x} + 2 e^{- x}$ D、 $y = \log_{2} x + 2 \log_{x} 2$

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三、填空题

13. 已知集合A={2，3}，则集合A的真子集的个数是．

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14. 某生物种群的数量Q与时间t的关系近似地符合 $Q (t) = \frac{10 e^{t}}{e^{t} + 9}$ .
给出下列四个结论：

①该生物种群的数量不会超过10；

②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；

③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比；

④该生物种群数量的增长速度最大的时间 $t_{0} \in (2 ， 3)$ .

根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是.

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15. 若 $2 x + 3 y = 1$ ，求 $4 x^{2} + 9 y^{2}$ 的最小值．

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16. 已知a>0 ，b>0，且a+3b= $\frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ ，则b的最大值为．

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四、解答题

17. 解关于x的不等式 $x^{2} - (a + 2) x + 2 a > 0$ ，其中 $a \in R$ .

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18. 已知集合 $A = {x | m - 5 < x < m - 1}$ ,函数 $f (x) = \lg (- x^{2} + x + 6)$ ,记 $f (x)$ 的定义域为B.
(Ⅰ)当 $m = 2$ 时,求 $A \cup B$ , $A \cap B$ ;

(Ⅱ)若 $A \cap B \neq \emptyset$ ,求实数m的取值范围.

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19. 设 $A = {x | x^{2} + 4 x = 0}$ ， $B = {x | x^{2} + 2 (a + 1) x + a^{2} - 1 = 0}$ ，且B $\underset{\neq}{\subset}$ A，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 已知全集 $U = {x | x \leq 10, x \in N}$ ， $A = {0, 2, 4, 6, 8}$ ， $B = {x | x \in U, x < 5}$

(1)、求 $M = {x | x \in A$ 但 $x \notin B}$ ；

(2)、求 $(C_{U} A) \cap (C_{U} B)$ ．

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21. 已知 $M = {x | y = \lg (6 x - x^{2} - 5)}, N = {y | y = \sqrt{16 - 2^{x}}}$ ，求 $M \cap N$ .

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22. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x < 0}$ ， $B = {x | (x + 2) (4 - x) \geq 0}$ ， $C = {x | a < x \leq a + 1}$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $B \cup C = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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23. 已知 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 为非空整数集合，对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，若 $x \in S_{i}$ ， $y \in S_{j}$ ，则 $x - y \in S_{k}$ .

(1)、证明：三个集合中至少有两个相等；

(2)、三个集合中是否可能有两个集合无公共元素？说明理由.

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