2023年高考数学模拟试卷（四）

试卷更新日期：2022-10-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = (x^{2} - 4) + (x + 2) i$ 是纯虚数，则实数 $x$ 的值为（）

A、2 B、－2 C、 $\pm 2$ D、4

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2. “方程 $\frac{x^{2}}{m + 2} + \frac{y^{2}}{2 - m} = 1$ 表示椭圆”的一个充分条件是（）

A、 $- 2 < m < 0$ B、 $m = 0$ C、 $m < - 2$ D、 $m > 0$

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3. 记 $a = 3^{- 0.2} ， b = 0 . 2^{- 0.2} ， c = l o g_{0.2} 3$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $S_{30} = 120$ ， $a_{3} + a_{6} + a_{9} + \cdot \cdot \cdot + a_{30} = 60$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $2 n - 25$ B、 $2 n - 27$ C、 $3 n - 15$ D、 $3 n - 18$

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5. ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中的常数项为（）

A、-60 B、60 C、64 D、120

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6. 已知点 $D$ 在直角 $△ A B C$ 的斜边 $B C$ 上，若 $A B = 2$ ， $A C = 3$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2 ， 3]$ B、 $[0 ， 4]$ C、 $[0 ， 9]$ D、 $[- 4 ， 9]$

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2} ， F_{1} ， F_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $A ， B$ 两点，若 $| A B |$ 的最小值为4，则 $△ A B F_{2}$ 周长的最小值为（）

A、8 B、12 C、16 D、24

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8. 已知曲线 $y = a e^{x}$ 与 $y = l n x - l n a$ 的两条公切线所成角的正切值为 $\frac{3}{4}$ ，则 $a^{3} =$ （）

A、2 B、 $\frac{2}{e}$ C、 $\frac{2}{e^{3}}$ D、 $\frac{8}{e}$

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = \frac{1}{2} (3 a_{n - 1} + \sqrt{5 a_{n - 1}^{2} + 4}) (n \geq 2)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} ， a_{n + 1} ， a_{n + 2}$ 成等差数列 B、 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - a_{n - 1} (n \geq 2)$ C、 $2^{n - 1} \leq a_{n} \leq 3^{n - 1} (n \in N^{*})$ D、 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} ， a_{n + 1} ， a_{n + 2}$ 一定不成等比数列

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ 满足 $f (x_{0}) = f (x_{0} + 1) = \frac{1}{2} ， f (x_{0} + \frac{1}{2}) = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(x_{0} ， x_{0} + 1)$ 上一定有极大值点 B、 $f (x)$ 在 $(x_{0} + \frac{1}{2} ， x_{0} + 1)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在区间 $(x_{0} ， x_{0} + 1)$ 上的零点个数为0 D、 $f (x)$ 在区间 $(x_{0} ， x_{0} + 1)$ 上可能有极小值点

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11. “堑堵”“阳马”和“鳖臑””是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.
若长方体的体积为 $V$ ，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为 $V_{1} ， V_{2} ， V_{3}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $V_{1} + V_{2} + V_{3} = V$ B、 $V_{1} = 2 V_{2}$ C、 $V_{2} = 2 V_{3}$ D、 $V_{3} = \frac{V}{6}$

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12. 设抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $C$ 的准线与 $y$ 轴交于点 $M$ ， $O$ 为坐标原点，则（）

A、线段 $A B$ 长度的最小值为4 B、若线段 $A B$ 中点的横坐标为 $2$ ，则直线 $A B$ 的斜率为 $1$ C、 $∠ A M B > \frac{π}{2}$ D、 $∠ A M O = ∠ B M O$

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三、填空题

13. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是双曲线 $C$ 的左、右焦点， $M$ 是双曲线 $C$ 右支上一点， $l$ 是 $∠ F_{1} M F_{2}$ 的平分线，过 $F_{2}$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为．

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14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $b s i n \frac{B + C}{2} = a s i n B$ ， $a = \sqrt{2}$ ，则△ABC周长的最大值为．

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15. 为了解某种作物的生长情况，抽取该作物植株高度（单位：cm）的一个随机样本，整理得到样本频率分布直方图如图所示.由此样本估计，该作物植株高度的80%分位数约为cm.

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16. 定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (- x) + x (\frac{1}{e^{x}} + e^{x}) = 0$ ，且在 $(0 ， + \infty)$ 上有 $f^{'} (x) > \frac{1}{e^{2}}$ 成立.若实数 $a$ 满足 $f (1 - a) - f (a) + e^{a - 1} - a e^{a - 1} - a e^{- a} \geq 0$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $S_{n}$ 是 $a_{n}$ 的前 $n$ 项的和，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1 (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等差数列， $b_{2} + b_{6} = a_{4}$ ， $a_{5} - b_{4} = 2 b_{6}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${S_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，设 $c_{n} = (- 1)^{n} \frac{(T_{n} + b_{n + 2}) b_{3 n + 4}}{b_{n + 1} b_{n + 2}}$ ，求 $c_{n}$ 的前 $n$ 项的和 $D_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $B = \frac{2 π}{3}$ ， $b = \sqrt{6}$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的周长为 $2 \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ，求 $a$ ， $c$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $s i n A s i n C$ 的值.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C ， A B = B C = 2$ ， D为 $A C$ 中点，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形．

(1)、求证： $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 $A B$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值．
条件①： $A B ⊥ B_{1} C$ ；
条件②： $A_{1} B = B_{1} C$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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20. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，点 $P (3 ， - 1)$ 在双曲线 $C$ 上.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、点 $A$ ， $B$ 在双曲线 $C$ 上，直线 $P A$ ， $P B$ 与 $y$ 轴分别相交于 $M ， N$ 两点，点 $Q$ 在直线 $A B$ 上，若坐标原点 $O$ 为线段 $M N$ 的中点， $P Q ⊥ A B$ ，证明：存在定点 $R$ ，使得 $| Q R |$ 为定值.

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21. 湘潭是伟人故里，生态宜居之城，市民幸福感与日倶增．某机构为了解市民对幸福感满意度，随机抽取了120位市民进行调查，其结果如下：回答 “满意” 的 “工薪族”人数是40人，回答 “不满意” 的“工薪族”人数是30人，回答“满意”的“非工薪族”人数是 40人，回答“不满意” 的 “非工薪族”人数是10人．
附：
$α$
0.050
0.010
0.005
$k_{0}$
3.841
6.635
7.879
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

(1)、请根据以上数据填写下面 $2 \times 2$ 列联表，并依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联?

满意
不满意
合计
工薪族
非工薪族
合计

(2)、用上述调查所得到的满意度频率估计概率，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的次数不超过 $n (n \in N^{*})$ ，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到 $n$ 时，抽样结束.记此时抽样次数为 $X_{n}$ ．
(i) 若 $n = 5$ ，求 $X_{5}$ 的分布列和数学期望；
(ii) 请写出 $X_{n}$ 的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明 $X_{n}$ 的数学期望的实际意义．

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22. 近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：

$A$ 大学
$B$ 大学
$C$ 大学
$D$ 大学
当年毕业人数 $x$ （千人）
3
4
5
6
自主创业人数 $y$ （千人）
0.1
0.2
0.4
0.5
参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、已知 $y$ 与 $x$ 具有较强的线性相关关系，求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ；

(2)、假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴．
（ⅰ）若该市 $E$ 大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给 $E$ 大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；
（ⅱ）若 $A$ 大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为 $p$ ， $2 p - 1 (\frac{1}{2} < p < 1)$ ，该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求 $p$ 的取值范围．

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	$A$ 大学	$B$ 大学	$C$ 大学	$D$ 大学
当年毕业人数 $x$ （千人）	3	4	5	6
自主创业人数 $y$ （千人）	0.1	0.2	0.4	0.5

$α$	0.050	0.010	0.005
$k_{0}$	3.841	6.635	7.879

	满意	不满意	合计
工薪族
非工薪族
合计