2023年高考数学模拟试卷（三）

试卷更新日期：2022-10-02 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若集合 $M = {x | x^{2} < x} ， N = {x | x^{2} < l o g_{a} x}$ ，且 $N \subseteq M$ ﹐则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1) ∪ (1 ， e^{\frac{1}{e}}]$ B、 $(0 ， 1) ∪ [e^{\frac{1}{e}} ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1) ∪ (1 ， e^{\frac{1}{2 e}}]$ D、 $(0 ， 1) ∪ [e^{\frac{1}{2 e}} ， + \infty)$

查看试题解析
2. 已知复数z满足 $z \cdot \bar{z} + 4 i \bar{z} = 5 + a i$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- 4 ， 4]$ B、 $[- 6 ， 6]$ C、 $[- 8 ， 8]$ D、 $[- 12 ， 12]$

查看试题解析
3. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足 $| O P | = b$ ，且 $\frac{s i n ∠ P F_{1} F_{2}}{s i n ∠ P F_{2} F_{1}} = 3$ ，则该双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析
4. 今年中国空间站将进入到另一个全新的正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验的安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）

A、44种 B、48种 C、60种 D、50种

查看试题解析
5. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，直线 $y = x + b$ 与曲线 $y = e^{x - a}$ 相切，则 $\frac{4}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

查看试题解析
6. 已知 $s i n α - c o s α = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ， $0 \leq α \leq π$ ，则 $s i n (2 α - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{10}$ B、 $\frac{3 - 4 \sqrt{4}}{10}$ C、 $- \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{3 + 4 \sqrt{3}}{10}$

查看试题解析
7. 在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5， $P B = C A = \sqrt{13}$ ， $P C = B A = 2 \sqrt{5}$ ，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $8 π$ C、 $24 π$ D、 $29 π$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = a x - e^{x}$ ， $\forall x \in (1 ， + \infty)$ ， $f (x) < a l n x + a - e x$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(- \infty$ ， e） D、 $(- \infty ， e]$

查看试题解析

二、多选题

9. 函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{3})$ 的图象关于点 $(\frac{4 π}{9} ， 0)$ 中心对称，且在区间 $(0 ， π)$ 恰有三个极值点，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{9} ， \frac{π}{9})$ 单调递增. B、 $f (x)$ 在区间 $(- π ， π)$ 有六个零点. C、直线 $x = \frac{11 π}{18}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴. D、 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，所得图象对应的函数为奇函数.

查看试题解析
10. 圆 $M ： {(x - k^{2})}^{2} + (y - 2 k)^{2} = 3$ 与圆 $N ： (x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 交于 $A ， B$ 两点，若 $| A B | = \sqrt{3}$ ，则实数 $k$ 的可能取值有（）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 1$

查看试题解析
11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{\sqrt{5}}{5} [(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n}]$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{3} = 1$ B、 $a_{2022}$ 是偶数 C、若 $S_{2020} = a$ ，则 $a_{2022} = a + 1$ D、若 $T_{n} = C_{n}^{1} a_{1} + C_{n}^{2} a_{2} + ⋯ + C_{n}^{n} a_{n}$ ，则存在n使得 $T_{n}$ 能被8整除

查看试题解析
12. 已知直线 $l ： y = a x - 1$ ，曲线 $C_{1} ： f (x) = e^{x + 1} + 1$ ，曲线 $C_{1}$ 关于直线 $y = x + 1$ 对称的曲线 $C_{2}$ 所对应的函数为 $y = g (x)$ ，则以下说法正确的是（）

A、不论 $a$ 为何值，直线 $l$ 恒过定点 $(0 ， - 1)$ ； B、 $g (x) = l n x - 1$ ； C、若直线 $l$ 与曲线 $C_{2}$ 相切，则 $a = 1$ ； D、若直线 $l$ 上有两个关于直线 $y = x + 1$ 对称的点在曲线 $C_{1}$ 上，则 $0 < a < 1$ .

查看试题解析

三、填空题

13. 已知甲盒和乙盒中有大小相同的球，甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有3个红球和2个白球，先从乙盒中任取两球，放入甲盒中，然后从甲盒中任取一球，则最终取到的球是白球的概率为.

查看试题解析
14. 已知某次考试的数学成绩 $X$ 服从正态分布 $N (100 ， σ^{2}) (σ > 0)$ ，且 $P (80 < X < 120) = \frac{2}{3}$ ，现从这次考试随机抽取 3 位同学的数学成绩，则这 3 位同学的数学成绩都在 $(100 ， 120)$ 内的概率为．

查看试题解析
15. 对实数 $a$ 、 $b$ 定义一个运算： $a \oplus b = {\begin{array}{l} a a - b \leq 1 \\ b a - b > 1 \end{array}$ ，设函数 $f (x) = (x^{2} - 2) \oplus (x - x^{2})$ （ $x \in R$ ），若函数 $y = f (x) - c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点，则实数 $c$ 的取值范围是．

查看试题解析
16. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边上的点，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，设 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x - y =$ .

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 $f (x) = s i n x ， g (x) = 2 f (ω x) (\sqrt{3} f (ω x + \frac{π}{2}) - f (ω x)) + 1 (ω > 0)$ .

(1)、若函数 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求 $ω$ 的值及 $g (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $x \in (0 ， \frac{π}{3}]$ 时，方程 $g (x) = \sqrt{3}$ 恰好有三个解，求实数 $ω$ 的取值范围

查看试题解析
18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{10} ， n a_{n} = 5 (n + 2) a_{n + 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = (n^{2} + 5 n + 5) a_{n} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .
在① $\frac{11}{10} \leq T_{n}$ ， ② $T_{n} < \frac{5}{4} - \frac{1}{5^{n} (n + 1)}$ 中任意选择一个，补充在横线上并证明.选择________-.

查看试题解析
19. 如图1，四边形 $A B C D$ 是梯形， $A B / / C D ， A D = D C = C B = \frac{1}{2} A B = 4 ， M$ 是 $A B$ 的中点，将 $△ A D M$ 沿 $D M$ 折起至 $△ A^{^{'}} D M$ ，如图2，点 $N$ 在线段 $A^{'} C$ 上.

(1)、若 $N$ 是 $A^{'} C$ 的中点，求证：平面 $D N M ⊥$ 平面 $A^{'} B C$ ；

(2)、若 $A^{^{'}} C = 2 \sqrt{6}$ ，平面 $D N M$ 与平面 $C D M$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $\frac{A^{^{'}} N}{N C}$ .

查看试题解析
20. “斯诺克（Snooker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一．现甲、乙两人进行比赛比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……），没有平局已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为 $\frac{1}{3}$ ，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为 $\frac{1}{2}$ ，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权．

(1)、求甲以3∶1赢得比赛的概率；

(2)、设比赛的总局数为 $ξ$ ，求 $E (ξ)$ ．

查看试题解析
21. 已知点 $F$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 与椭圆 $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的公共焦点，椭圆上的点 $M$ 到点 $F$ 的最大距离为3.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过点 $M$ 作 $C$ 的两条切线，记切点分别为 $A ， B$ ，求 $△ M A B$ 面积的最大值.

查看试题解析
22. 已知函数 $g (x) = a l n x + x^{2} ， h (x) = (a + 2) x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若直线 $y = h (x)$ 是曲线 $y = g (x)$ 的切线，求负数 $a$ 的值；

(2)、设 $f (x) = g (x) - h (x)$ .
（i）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（ii）若函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 在区间 $(1 ， e)$ 上存在零点，证明：当 $x \in (1 ， e)$ 时， $f (x) > - e^{2}$ .

查看试题解析