2023年高考数学模拟试卷（二）

试卷更新日期：2022-10-02 类型：高考模拟

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一、多选题

1. 已知圆 $M ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 2$ ，直线 $l ： x + y - 2 = 0$ ，点 $P$ 在直线 $l$ 上运动，直线 $P A ， P B$ 分别于圆 $M$ 切于点 $A ， B$ .则下列说法正确的是（）

A、四边形 $P A M B$ 的面积最小值为 $2 \sqrt{3}$ B、 $| P A |$ 最短时，弦 $A B$ 长为 $\sqrt{6}$ C、 $| P A |$ 最短时，弦 $A B$ 直线方程为 $x + y - 1 = 0$ D、直线 $A B$ 过定点 $(- \frac{3}{2} ， \frac{1}{2})$

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2. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 4$ ， A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线 $P A$ 与 $P B$ 斜率的乘积为1，则（）

A、 $a = b = \sqrt{2}$ B、双曲线C的离心率为 $\sqrt{2}$ C、直线 $A B$ 倾斜角的取值范围为 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ D、若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则三角形 $P F_{1} F_{2}$ 的面积为2

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3. 若数列 ${a_{n}}$ 满足：对 $\forall i ， j \in N *$ ，若 $i < j$ ，则 $a_{i} < a_{j}$ ，称数列 ${a_{n}}$ 为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列 ${a_{n}}$ 是“鲤鱼跃龙门数列”的有（）

A、 $a_{n} = n^{2} - 4 n + 1$ B、 $a_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$ C、 $a_{n} = s i n n π$ D、 $a_{n} = l n \frac{n}{n + 1}$

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x} ， g (x) = x e^{- x}$ ，若存在 $x_{1} \in (0 ， + \infty) ， x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = k$ 成立，则（）

A、当 $k > 0$ 时， $x_{1} + x_{2} > 1$ B、当 $k > 0$ 时， $x_{1} + e^{x_{2}} < 2 e$ C、当 $k < 0$ 时， $x_{1} + x_{2} < 1$ D、当 $k < 0$ 时， $\frac{x_{2}}{x_{1}} \cdot e^{k}$ 的最小值为 $- \frac{1}{e}$

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二、填空题

5. 已知 $(2 - m x)^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，若 $a_{3} = 40$ ，则 $m =$ ．

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6. “全员检测，阻断清零”的新冠防疫政策，使得我国成为全球最安全的国家.现某处需要三组全民核酸检测人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成.根据需要，志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名检测人员分组方法种数为.

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7. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以 $A$ 表示事件“试验反应为阳性”，以 $C$ 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有 $P (A | C) = 0.9$ ， $P (\bar{A} | \bar{C}) = 0.9$ .现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为 $0.01$ ，即 $P (C) = 0.01$ ，则 $P (C | A) =$ .

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8. 某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如表所示：
广告支出费用x
2.2
2.6
4.0
5.3
5.9
销售量y
3.8
5.4
7.0
11.6
12.2
根据表中的数据可得回归直线方程 $\hat{y} =$ 2.27x $+ \hat{a}$ ， R²≈0.96，则
①第三个样本点对应的残差 $\hat{e_{3}} = -$ 1
②在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中
③销售量的多少有96%是由广告支出费用引起的
上述结论判断中有一个是错误的，其序号为

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三、解答题

9. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 满足 $2 s i n^{2} A + s i n^{2} B = 2 s i n^{2} C$ .

(1)、求证： $t a n C = 3 t a n A$ ；

(2)、求 $\frac{1}{t a n A} + \frac{2}{t a n B} + \frac{3}{t a n C}$ 最小值.

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10. 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到3450亿元，较2018年约增长14.4%．从全球应用北斗卫星的城市中选取了40个城市进行调研，上图是这40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．

(1)、根据频率分布直方图，求产值小于600万元的调研城市个数；

(2)、在上述抽取的40个城市中任取2个，设 $Y$ 为产值不超过600万元的城市个数，求 $Y$ 的分布列及期望和方差．

(3)、把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有3个城市的产值超过605万元的概率．

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11. 在如图所示的多面体中， $A B / / C D$ ，四边形 $A C F E$ 为矩形， $A B = A E = 1$ ， $A D = C D = 2$ ．

(1)、求证：平面 $A B E / /$ 平面 $C D F$ ；

(2)、设半面 $B E F ∩$ 平面 $C D F = l$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求二面角 $B - l - C$ 的正弦值．

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{x^{2}}{2} + a (x + 1)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，证明： $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ；

(2)、当 $a \leq - 2 - e^{- 2}$ 时，证明： $f (x)$ 在 $R$ 上有3个零点．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点 $A (- 1 ， \frac{3}{2})$ 关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于 $- \frac{3}{4}$ .

(1)、求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；

(2)、设直线AP与BP分别与直线 $x = 3$ 交于M，N，问是否存在点P使得 $△ P A B$ 与 $△ P M N$ 面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

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14. 随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人.某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：

	$A$ 大学	$B$ 大学	$C$ 大学	$D$ 大学
2020年毕业人数 $x$ （千人）	7	6	5	4
2022年考研人数 $y$ （千人）	0.5	0.4	0.3	0.2

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、已知

y

与

x

具有较强的线性相关关系，求

y

关于

x

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

；

(2)、假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴.

（i）若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：

（ii）若 $A$ 大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分別为 $p$ 、 $3 p - 1$ ，该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求 $p$ 的取值范围.

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广告支出费用x	2.2	2.6	4.0	5.3	5.9
销售量y	3.8	5.4	7.0	11.6	12.2